Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74509 / 77272
↖ ↑ ↗
← S 30.656816°
E 24.645081°		 ← 262.74 m → S 30.656816°
E 24.647827°		 →
↑
262.74 m
↓
↑
262.74 m
↓
S 30.659178°
E 24.645081°		 ← 262.73 m →
69 031 m²		 S 30.659178°
E 24.647827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568462371826172 y=0.589542388916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568462371826172 × 217)
    floor (0.568462371826172 × 131072)
    floor (74509.5)     		tx = 74509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589542388916016 × 217)
    floor (0.589542388916016 × 131072)
    floor (77272.5)     		ty = 77272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74509 / 77272 ti = "17/74509/77272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74509/77272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74509 ÷ 217
    74509 ÷ 131072     		x = 0.568458557128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77272 ÷ 217
    77272 ÷ 131072     		y = 0.58953857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568458557128906 × 2 - 1) × π
    0.136917114257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.43013780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58953857421875 × 2 - 1) × π
    -0.1790771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.562587453940979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43013780} λ = 0.43013780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.562587453940979))-π/2
    2×atan(0.569732997156239)-π/2
    2×0.517866978517588-π/2
    1.03573395703518-1.57079632675     		φ = -0.53506237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43013780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.645081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53506237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.656816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74509 KachelY 77272 0.43013780 -0.53506237 24.645081 -30.656816
    Oben rechts KachelX + 1 74510 KachelY 77272 0.43018574 -0.53506237 24.647827 -30.656816
    Unten links KachelX 74509 KachelY + 1 77273 0.43013780 -0.53510361 24.645081 -30.659178
    Unten rechts KachelX + 1 74510 KachelY + 1 77273 0.43018574 -0.53510361 24.647827 -30.659178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53506237--0.53510361) × R
    4.12399999999424e-05 × 6371000     		dl = 262.740039999633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53506237--0.53510361) × R
    4.12399999999424e-05 × 6371000     		dr = 262.740039999633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43013780-0.43018574) × cos(-0.53506237) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.860236828815917 × 6371000     		do = 262.738470016183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43013780-0.43018574) × cos(-0.53510361) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.860215800027249 × 6371000     		du = 262.732047282842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53506237)-sin(-0.53510361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860236828815917-0.860215800027249)×R²
    abs(0.43018574-0.43013780)×2.10287886679428e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.10287886679428e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.10287886679428e-05×40589641000000     		ar = 69031.072376663m²