Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74507 / 55565
↖ ↑ ↗
← N 26.399250°
E 24.639588°		 ← 273.52 m → N 26.399250°
E 24.642334°		 →
↑
273.57 m
↓
↑
273.57 m
↓
N 26.396790°
E 24.639588°		 ← 273.52 m →
74 827 m²		 N 26.396790°
E 24.642334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568447113037109 y=0.423931121826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568447113037109 × 217)
    floor (0.568447113037109 × 131072)
    floor (74507.5)     		tx = 74507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423931121826172 × 217)
    floor (0.423931121826172 × 131072)
    floor (55565.5)     		ty = 55565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74507 / 55565 ti = "17/74507/55565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74507/55565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74507 ÷ 217
    74507 ÷ 131072     		x = 0.568443298339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55565 ÷ 217
    55565 ÷ 131072     		y = 0.423927307128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568443298339844 × 2 - 1) × π
    0.136886596679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.43004193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423927307128906 × 2 - 1) × π
    0.152145385742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.47797882611158
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43004193} λ = 0.43004193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.47797882611158))-π/2
    2×atan(1.61281133353486)-π/2
    2×1.01577508310053-π/2
    2.03155016620106-1.57079632675     		φ = 0.46075384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43004193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.639588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46075384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.399250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74507 KachelY 55565 0.43004193 0.46075384 24.639588 26.399250
    Oben rechts KachelX + 1 74508 KachelY 55565 0.43008986 0.46075384 24.642334 26.399250
    Unten links KachelX 74507 KachelY + 1 55566 0.43004193 0.46071090 24.639588 26.396790
    Unten rechts KachelX + 1 74508 KachelY + 1 55566 0.43008986 0.46071090 24.642334 26.396790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46075384-0.46071090) × R
    4.29400000000468e-05 × 6371000     		dl = 273.570740000298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46075384-0.46071090) × R
    4.29400000000468e-05 × 6371000     		dr = 273.570740000298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43004193-0.43008986) × cos(0.46075384) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.895717577114277 × 6371000     		do = 273.518137654148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43004193-0.43008986) × cos(0.46071090) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.895736668419904 × 6371000     		du = 273.523967413989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46075384)-sin(0.46071090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895717577114277-0.895736668419904)×R²
    abs(0.43008986-0.43004193)×1.90913056268283e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.90913056268283e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.90913056268283e-05×40589641000000     		ar = 74827.3567589616m²