Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74507 / 53536
↖ ↑ ↗
← N 31.278551°
E 24.639588°		 ← 260.98 m → N 31.278551°
E 24.642334°		 →
↑
261.02 m
↓
↑
261.02 m
↓
N 31.276204°
E 24.639588°		 ← 260.99 m →
68 121 m²		 N 31.276204°
E 24.642334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568447113037109 y=0.408451080322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568447113037109 × 217)
    floor (0.568447113037109 × 131072)
    floor (74507.5)     		tx = 74507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408451080322266 × 217)
    floor (0.408451080322266 × 131072)
    floor (53536.5)     		ty = 53536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74507 / 53536 ti = "17/74507/53536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74507/53536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74507 ÷ 217
    74507 ÷ 131072     		x = 0.568443298339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53536 ÷ 217
    53536 ÷ 131072     		y = 0.408447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568443298339844 × 2 - 1) × π
    0.136886596679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.43004193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408447265625 × 2 - 1) × π
    0.18310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.575242795440674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43004193} λ = 0.43004193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.575242795440674))-π/2
    2×atan(1.77756205848828)-π/2
    2×1.05835501226098-π/2
    2.11671002452196-1.57079632675     		φ = 0.54591370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43004193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.639588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54591370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.278551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74507 KachelY 53536 0.43004193 0.54591370 24.639588 31.278551
    Oben rechts KachelX + 1 74508 KachelY 53536 0.43008986 0.54591370 24.642334 31.278551
    Unten links KachelX 74507 KachelY + 1 53537 0.43004193 0.54587273 24.639588 31.276204
    Unten rechts KachelX + 1 74508 KachelY + 1 53537 0.43008986 0.54587273 24.642334 31.276204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54591370-0.54587273) × R
    4.0969999999918e-05 × 6371000     		dl = 261.019869999478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54591370-0.54587273) × R
    4.0969999999918e-05 × 6371000     		dr = 261.019869999478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43004193-0.43008986) × cos(0.54591370) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.854653255286648 × 6371000     		do = 260.978652980297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43004193-0.43008986) × cos(0.54587273) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.854674526160737 × 6371000     		du = 260.985148297588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54591370)-sin(0.54587273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854653255286648-0.854674526160737)×R²
    abs(0.43008986-0.43004193)×2.12708740885414e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.12708740885414e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.12708740885414e-05×40589641000000     		ar = 68121.4617866306m²