Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74505 / 76491
↖ ↑ ↗
← S 28.794140°
E 24.634094°		 ← 267.66 m → S 28.794140°
E 24.636841°		 →
↑
267.65 m
↓
↑
267.65 m
↓
S 28.796547°
E 24.634094°		 ← 267.66 m →
71 638 m²		 S 28.796547°
E 24.636841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568431854248047 y=0.583583831787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568431854248047 × 217)
    floor (0.568431854248047 × 131072)
    floor (74505.5)     		tx = 74505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583583831787109 × 217)
    floor (0.583583831787109 × 131072)
    floor (76491.5)     		ty = 76491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74505 / 76491 ti = "17/74505/76491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74505/76491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74505 ÷ 217
    74505 ÷ 131072     		x = 0.568428039550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76491 ÷ 217
    76491 ÷ 131072     		y = 0.583580017089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568428039550781 × 2 - 1) × π
    0.136856079101562 × 3.1415926535     		Λ = 0.42994605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583580017089844 × 2 - 1) × π
    -0.167160034179688 × 3.1415926535     		Φ = -0.525148735337715
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42994605} λ = 0.42994605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.525148735337715))-π/2
    2×atan(0.591467385722848)-π/2
    2×0.534121895494375-π/2
    1.06824379098875-1.57079632675     		φ = -0.50255254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42994605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.634094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50255254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.794140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74505 KachelY 76491 0.42994605 -0.50255254 24.634094 -28.794140
    Oben rechts KachelX + 1 74506 KachelY 76491 0.42999399 -0.50255254 24.636841 -28.794140
    Unten links KachelX 74505 KachelY + 1 76492 0.42994605 -0.50259455 24.634094 -28.796547
    Unten rechts KachelX + 1 74506 KachelY + 1 76492 0.42999399 -0.50259455 24.636841 -28.796547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50255254--0.50259455) × R
    4.20099999999257e-05 × 6371000     		dl = 267.645709999527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50255254--0.50259455) × R
    4.20099999999257e-05 × 6371000     		dr = 267.645709999527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42994605-0.42999399) × cos(-0.50255254) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.876355951429264 × 6371000     		do = 267.661664968511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42994605-0.42999399) × cos(-0.50259455) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.87633571594968 × 6371000     		du = 267.655484532185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50255254)-sin(-0.50259455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876355951429264-0.87633571594968)×R²
    abs(0.42999399-0.42994605)×2.02354795834081e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.02354795834081e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.02354795834081e-05×40589641000000     		ar = 71637.669286964m²