Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74505 / 76489
↖ ↑ ↗
← S 28.789325°
E 24.634094°		 ← 267.67 m → S 28.789325°
E 24.636841°		 →
↑
267.71 m
↓
↑
267.71 m
↓
S 28.791733°
E 24.634094°		 ← 267.67 m →
71 658 m²		 S 28.791733°
E 24.636841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568431854248047 y=0.583568572998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568431854248047 × 217)
    floor (0.568431854248047 × 131072)
    floor (74505.5)     		tx = 74505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583568572998047 × 217)
    floor (0.583568572998047 × 131072)
    floor (76489.5)     		ty = 76489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74505 / 76489 ti = "17/74505/76489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74505/76489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74505 ÷ 217
    74505 ÷ 131072     		x = 0.568428039550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76489 ÷ 217
    76489 ÷ 131072     		y = 0.583564758300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568428039550781 × 2 - 1) × π
    0.136856079101562 × 3.1415926535     		Λ = 0.42994605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583564758300781 × 2 - 1) × π
    -0.167129516601562 × 3.1415926535     		Φ = -0.525052861538475
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42994605} λ = 0.42994605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.525052861538475))-π/2
    2×atan(0.591524094666651)-π/2
    2×0.534163906251697-π/2
    1.06832781250339-1.57079632675     		φ = -0.50246851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42994605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.634094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50246851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.789325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74505 KachelY 76489 0.42994605 -0.50246851 24.634094 -28.789325
    Oben rechts KachelX + 1 74506 KachelY 76489 0.42999399 -0.50246851 24.636841 -28.789325
    Unten links KachelX 74505 KachelY + 1 76490 0.42994605 -0.50251053 24.634094 -28.791733
    Unten rechts KachelX + 1 74506 KachelY + 1 76490 0.42999399 -0.50251053 24.636841 -28.791733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50246851--0.50251053) × R
    4.2019999999976e-05 × 6371000     		dl = 267.709419999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50246851--0.50251053) × R
    4.2019999999976e-05 × 6371000     		dr = 267.709419999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42994605-0.42999399) × cos(-0.50246851) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.876396422564415 × 6371000     		do = 267.674025894913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42994605-0.42999399) × cos(-0.50251053) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.876376185362219 × 6371000     		du = 267.667844932457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50246851)-sin(-0.50251053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876396422564415-0.876376185362219)×R²
    abs(0.42999399-0.42994605)×2.02372021954611e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.02372021954611e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.02372021954611e-05×40589641000000     		ar = 71658.0308809178m²