Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74505 / 55001
↖ ↑ ↗
← N 27.778342°
E 24.634094°		 ← 270.23 m → N 27.778342°
E 24.636841°		 →
↑
270.19 m
↓
↑
270.19 m
↓
N 27.775912°
E 24.634094°		 ← 270.23 m →
73 015 m²		 N 27.775912°
E 24.636841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568431854248047 y=0.419628143310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568431854248047 × 217)
    floor (0.568431854248047 × 131072)
    floor (74505.5)     		tx = 74505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419628143310547 × 217)
    floor (0.419628143310547 × 131072)
    floor (55001.5)     		ty = 55001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74505 / 55001 ti = "17/74505/55001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74505/55001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74505 ÷ 217
    74505 ÷ 131072     		x = 0.568428039550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55001 ÷ 217
    55001 ÷ 131072     		y = 0.419624328613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568428039550781 × 2 - 1) × π
    0.136856079101562 × 3.1415926535     		Λ = 0.42994605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419624328613281 × 2 - 1) × π
    0.160751342773438 × 3.1415926535     		Φ = 0.505015237497292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42994605} λ = 0.42994605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.505015237497292))-π/2
    2×atan(1.65701076896559)-π/2
    2×1.0278099243297-π/2
    2.0556198486594-1.57079632675     		φ = 0.48482352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42994605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.634094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48482352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.778342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74505 KachelY 55001 0.42994605 0.48482352 24.634094 27.778342
    Oben rechts KachelX + 1 74506 KachelY 55001 0.42999399 0.48482352 24.636841 27.778342
    Unten links KachelX 74505 KachelY + 1 55002 0.42994605 0.48478111 24.634094 27.775912
    Unten rechts KachelX + 1 74506 KachelY + 1 55002 0.42999399 0.48478111 24.636841 27.775912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48482352-0.48478111) × R
    4.24099999999927e-05 × 6371000     		dl = 270.194109999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48482352-0.48478111) × R
    4.24099999999927e-05 × 6371000     		dr = 270.194109999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42994605-0.42999399) × cos(0.48482352) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.884757211782692 × 6371000     		do = 270.227626128888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42994605-0.42999399) × cos(0.48478111) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.884776976261872 × 6371000     		du = 270.233662709568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48482352)-sin(0.48478111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884757211782692-0.884776976261872)×R²
    abs(0.42999399-0.42994605)×1.97644791801732e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97644791801732e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97644791801732e-05×40589641000000     		ar = 73014.7284744408m²