Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74504 / 77352
↖ ↑ ↗
← S 30.845648°
E 24.631348°		 ← 262.17 m → S 30.845648°
E 24.634094°		 →
↑
262.17 m
↓
↑
262.17 m
↓
S 30.848005°
E 24.631348°		 ← 262.16 m →
68 731 m²		 S 30.848005°
E 24.634094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568424224853516 y=0.590152740478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568424224853516 × 217)
    floor (0.568424224853516 × 131072)
    floor (74504.5)     		tx = 74504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590152740478516 × 217)
    floor (0.590152740478516 × 131072)
    floor (77352.5)     		ty = 77352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74504 / 77352 ti = "17/74504/77352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74504/77352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74504 ÷ 217
    74504 ÷ 131072     		x = 0.56842041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77352 ÷ 217
    77352 ÷ 131072     		y = 0.59014892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56842041015625 × 2 - 1) × π
    0.1368408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42989812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59014892578125 × 2 - 1) × π
    -0.1802978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.566422405910583
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42989812} λ = 0.42989812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.566422405910583))-π/2
    2×atan(0.567552282617025)-π/2
    2×0.516219109708657-π/2
    1.03243821941731-1.57079632675     		φ = -0.53835811
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42989812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.631348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53835811 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.845648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74504 KachelY 77352 0.42989812 -0.53835811 24.631348 -30.845648
    Oben rechts KachelX + 1 74505 KachelY 77352 0.42994605 -0.53835811 24.634094 -30.845648
    Unten links KachelX 74504 KachelY + 1 77353 0.42989812 -0.53839926 24.631348 -30.848005
    Unten rechts KachelX + 1 74505 KachelY + 1 77353 0.42994605 -0.53839926 24.634094 -30.848005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53835811--0.53839926) × R
    4.11500000000453e-05 × 6371000     		dl = 262.166650000289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53835811--0.53839926) × R
    4.11500000000453e-05 × 6371000     		dr = 262.166650000289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42989812-0.42994605) × cos(-0.53835811) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.85855167962142 × 6371000     		do = 262.169083749267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42989812-0.42994605) × cos(-0.53839926) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.858530580176993 × 6371000     		du = 262.162640780085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53835811)-sin(-0.53839926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85855167962142-0.858530580176993)×R²
    abs(0.42994605-0.42989812)×2.10994444268531e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.10994444268531e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.10994444268531e-05×40589641000000     		ar = 68731.1458640312m²