Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74503 / 56567
↖ ↑ ↗
← N 23.908438°
E 24.628601°		 ← 279.22 m → N 23.908438°
E 24.631348°		 →
↑
279.18 m
↓
↑
279.18 m
↓
N 23.905927°
E 24.628601°		 ← 279.22 m →
77 952 m²		 N 23.905927°
E 24.631348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568416595458984 y=0.431575775146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568416595458984 × 217)
    floor (0.568416595458984 × 131072)
    floor (74503.5)     		tx = 74503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431575775146484 × 217)
    floor (0.431575775146484 × 131072)
    floor (56567.5)     		ty = 56567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74503 / 56567 ti = "17/74503/56567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74503/56567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74503 ÷ 217
    74503 ÷ 131072     		x = 0.568412780761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56567 ÷ 217
    56567 ÷ 131072     		y = 0.431571960449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568412780761719 × 2 - 1) × π
    0.136825561523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.42985018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431571960449219 × 2 - 1) × π
    0.136856079101562 × 3.1415926535     		Φ = 0.429946052692284
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42985018} λ = 0.42985018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.429946052692284))-π/2
    2×atan(1.53717459488053)-π/2
    2×0.994038643235815-π/2
    1.98807728647163-1.57079632675     		φ = 0.41728096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42985018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.628601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41728096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.908438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74503 KachelY 56567 0.42985018 0.41728096 24.628601 23.908438
    Oben rechts KachelX + 1 74504 KachelY 56567 0.42989812 0.41728096 24.631348 23.908438
    Unten links KachelX 74503 KachelY + 1 56568 0.42985018 0.41723714 24.628601 23.905927
    Unten rechts KachelX + 1 74504 KachelY + 1 56568 0.42989812 0.41723714 24.631348 23.905927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41728096-0.41723714) × R
    4.38199999999722e-05 × 6371000     		dl = 279.177219999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41728096-0.41723714) × R
    4.38199999999722e-05 × 6371000     		dr = 279.177219999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42985018-0.42989812) × cos(0.41728096) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.914194280615747 × 6371000     		do = 279.218464660649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42985018-0.42989812) × cos(0.41723714) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.914212038942139 × 6371000     		du = 279.223888510628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41728096)-sin(0.41723714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914194280615747-0.914212038942139)×R²
    abs(0.42989812-0.42985018)×1.77583263911707e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77583263911707e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77583263911707e-05×40589641000000     		ar = 77952.1918567337m²