Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 745 / 945
↖ ↑ ↗
← N 13.752725°
W 49.042969°		 ← 18.986 km → N 13.752725°
W 48.867188°		 →
↑
18.993 km
↓
↑
18.993 km
↓
N 13.581921°
W 49.042969°		 ← 18.999 km →
360.716 km²		 N 13.581921°
W 48.867188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364013671875 y=0.461669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364013671875 × 211)
    floor (0.364013671875 × 2048)
    floor (745.5)     		tx = 745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461669921875 × 211)
    floor (0.461669921875 × 2048)
    floor (945.5)     		ty = 945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 745 / 945 ti = "11/745/945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/745/945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 745 ÷ 211
    745 ÷ 2048     		x = 0.36376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 945 ÷ 211
    945 ÷ 2048     		y = 0.46142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36376953125 × 2 - 1) × π
    -0.2724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85596128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46142578125 × 2 - 1) × π
    0.0771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.242368964479004
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85596128} λ = -0.85596128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.242368964479004))-π/2
    2×atan(1.27426426434142)-π/2
    2×0.905413326651064-π/2
    1.81082665330213-1.57079632675     		φ = 0.24003033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85596128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.042969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24003033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.752725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 745 KachelY 945 -0.85596128 0.24003033 -49.042969 13.752725
    Oben rechts KachelX + 1 746 KachelY 945 -0.85289332 0.24003033 -48.867188 13.752725
    Unten links KachelX 745 KachelY + 1 946 -0.85596128 0.23704924 -49.042969 13.581921
    Unten rechts KachelX + 1 746 KachelY + 1 946 -0.85289332 0.23704924 -48.867188 13.581921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24003033-0.23704924) × R
    0.00298108999999999 × 6371000     		dl = 18992.5243899999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24003033-0.23704924) × R
    0.00298108999999999 × 6371000     		dr = 18992.5243899999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85596128--0.85289332) × cos(0.24003033) × R
    0.00306796000000009 × 0.9713307648846 × 6371000     		do = 18985.6050599172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85596128--0.85289332) × cos(0.23704924) × R
    0.00306796000000009 × 0.97203514852682 × 6371000     		du = 18999.3729236824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24003033)-sin(0.23704924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9713307648846-0.97203514852682)×R²
    abs(-0.85289332--0.85596128)×0.000704383642219808×R²
    0.00306796000000009×0.000704383642219808×6371000²
    0.00306796000000009×0.000704383642219808×40589641000000     		ar = 360715577.540468m²