Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74497 / 55550
↖ ↑ ↗
← N 26.436147°
E 24.612122°		 ← 273.43 m → N 26.436147°
E 24.614868°		 →
↑
273.51 m
↓
↑
273.51 m
↓
N 26.433687°
E 24.612122°		 ← 273.44 m →
74 786 m²		 N 26.433687°
E 24.614868°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568370819091797 y=0.423816680908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568370819091797 × 217)
    floor (0.568370819091797 × 131072)
    floor (74497.5)     		tx = 74497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423816680908203 × 217)
    floor (0.423816680908203 × 131072)
    floor (55550.5)     		ty = 55550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74497 / 55550 ti = "17/74497/55550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74497/55550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74497 ÷ 217
    74497 ÷ 131072     		x = 0.568367004394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55550 ÷ 217
    55550 ÷ 131072     		y = 0.423812866210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568367004394531 × 2 - 1) × π
    0.136734008789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.42956256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423812866210938 × 2 - 1) × π
    0.152374267578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.478697879605881
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42956256} λ = 0.42956256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.478697879605881))-π/2
    2×atan(1.61397144820216)-π/2
    2×1.01609706603222-π/2
    2.03219413206444-1.57079632675     		φ = 0.46139781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42956256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.612122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46139781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.436147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74497 KachelY 55550 0.42956256 0.46139781 24.612122 26.436147
    Oben rechts KachelX + 1 74498 KachelY 55550 0.42961049 0.46139781 24.614868 26.436147
    Unten links KachelX 74497 KachelY + 1 55551 0.42956256 0.46135488 24.612122 26.433687
    Unten rechts KachelX + 1 74498 KachelY + 1 55551 0.42961049 0.46135488 24.614868 26.433687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46139781-0.46135488) × R
    4.29299999999966e-05 × 6371000     		dl = 273.507029999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46139781-0.46135488) × R
    4.29299999999966e-05 × 6371000     		dr = 273.507029999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42956256-0.42961049) × cos(0.46139781) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.895431067238052 × 6371000     		do = 273.430648417045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42956256-0.42961049) × cos(0.46135488) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.895450178856812 × 6371000     		du = 273.436484379746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46139781)-sin(0.46135488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895431067238052-0.895450178856812)×R²
    abs(0.42961049-0.42956256)×1.91116187597817e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.91116187597817e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.91116187597817e-05×40589641000000     		ar = 74786.0026593896m²