Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74496 / 62207
↖ ↑ ↗
← N  9.104809°
E 24.609375°		 ← 301.58 m → N  9.104809°
E 24.612122°		 →
↑
301.54 m
↓
↑
301.54 m
↓
N  9.102097°
E 24.609375°		 ← 301.58 m →
90 938 m²		 N  9.102097°
E 24.612122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568363189697266 y=0.474605560302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568363189697266 × 217)
    floor (0.568363189697266 × 131072)
    floor (74496.5)     		tx = 74496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.474605560302734 × 217)
    floor (0.474605560302734 × 131072)
    floor (62207.5)     		ty = 62207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74496 / 62207 ti = "17/74496/62207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74496/62207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74496 ÷ 217
    74496 ÷ 131072     		x = 0.568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62207 ÷ 217
    62207 ÷ 131072     		y = 0.474601745605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568359375 × 2 - 1) × π
    0.13671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42951462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.474601745605469 × 2 - 1) × π
    0.0507965087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.159581938835167
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42951462} λ = 0.42951462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.159581938835167))-π/2
    2×atan(1.17302037420611)-π/2
    2×0.864852608407888-π/2
    1.72970521681578-1.57079632675     		φ = 0.15890889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42951462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.609375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.15890889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 9.104809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74496 KachelY 62207 0.42951462 0.15890889 24.609375 9.104809
    Oben rechts KachelX + 1 74497 KachelY 62207 0.42956256 0.15890889 24.612122 9.104809
    Unten links KachelX 74496 KachelY + 1 62208 0.42951462 0.15886156 24.609375 9.102097
    Unten rechts KachelX + 1 74497 KachelY + 1 62208 0.42956256 0.15886156 24.612122 9.102097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.15890889-0.15886156) × R
    4.73299999999843e-05 × 6371000     		dl = 301.5394299999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.15890889-0.15886156) × R
    4.73299999999843e-05 × 6371000     		dr = 301.5394299999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42951462-0.42956256) × cos(0.15890889) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.98740052937219 × 6371000     		do = 301.577537359695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42951462-0.42956256) × cos(0.15886156) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987408017809851 × 6371000     		du = 301.579824521309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.15890889)-sin(0.15886156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98740052937219-0.987408017809851)×R²
    abs(0.42956256-0.42951462)×7.48843766096297e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.48843766096297e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.48843766096297e-06×40589641000000     		ar = 90937.8635679127m²