Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74496 / 54545
↖ ↑ ↗
← N 28.880755°
E 24.609375°		 ← 267.44 m → N 28.880755°
E 24.612122°		 →
↑
267.45 m
↓
↑
267.45 m
↓
N 28.878349°
E 24.609375°		 ← 267.45 m →
71 529 m²		 N 28.878349°
E 24.612122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568363189697266 y=0.416149139404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568363189697266 × 217)
    floor (0.568363189697266 × 131072)
    floor (74496.5)     		tx = 74496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416149139404297 × 217)
    floor (0.416149139404297 × 131072)
    floor (54545.5)     		ty = 54545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74496 / 54545 ti = "17/74496/54545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74496/54545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74496 ÷ 217
    74496 ÷ 131072     		x = 0.568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54545 ÷ 217
    54545 ÷ 131072     		y = 0.416145324707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568359375 × 2 - 1) × π
    0.13671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42951462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416145324707031 × 2 - 1) × π
    0.167709350585938 × 3.1415926535     		Φ = 0.526874463724037
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42951462} λ = 0.42951462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.526874463724037))-π/2
    2×atan(1.69363052383398)-π/2
    2×1.03743029299745-π/2
    2.0748605859949-1.57079632675     		φ = 0.50406426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42951462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.609375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50406426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.880755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74496 KachelY 54545 0.42951462 0.50406426 24.609375 28.880755
    Oben rechts KachelX + 1 74497 KachelY 54545 0.42956256 0.50406426 24.612122 28.880755
    Unten links KachelX 74496 KachelY + 1 54546 0.42951462 0.50402228 24.609375 28.878349
    Unten rechts KachelX + 1 74497 KachelY + 1 54546 0.42956256 0.50402228 24.612122 28.878349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50406426-0.50402228) × R
    4.1979999999997e-05 × 6371000     		dl = 267.454579999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50406426-0.50402228) × R
    4.1979999999997e-05 × 6371000     		dr = 267.454579999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42951462-0.42956256) × cos(0.50406426) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.875626809178895 × 6371000     		do = 267.438966157128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42951462-0.42956256) × cos(0.50402228) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.875647084255856 × 6371000     		du = 267.445158687512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50406426)-sin(0.50402228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875626809178895-0.875647084255856)×R²
    abs(0.42956256-0.42951462)×2.02750769611182e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.02750769611182e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.02750769611182e-05×40589641000000     		ar = 71528.6044900655m²