Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74495 / 56063
↖ ↑ ↗
← N 25.167659°
E 24.606628°		 ← 276.43 m → N 25.167659°
E 24.609375°		 →
↑
276.44 m
↓
↑
276.44 m
↓
N 25.165173°
E 24.606628°		 ← 276.44 m →
76 417 m²		 N 25.165173°
E 24.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568355560302734 y=0.427730560302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568355560302734 × 217)
    floor (0.568355560302734 × 131072)
    floor (74495.5)     		tx = 74495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427730560302734 × 217)
    floor (0.427730560302734 × 131072)
    floor (56063.5)     		ty = 56063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74495 / 56063 ti = "17/74495/56063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74495/56063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74495 ÷ 217
    74495 ÷ 131072     		x = 0.568351745605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56063 ÷ 217
    56063 ÷ 131072     		y = 0.427726745605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568351745605469 × 2 - 1) × π
    0.136703491210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.42946668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427726745605469 × 2 - 1) × π
    0.144546508789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.454106250100792
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42946668} λ = 0.42946668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.454106250100792))-π/2
    2×atan(1.57476530755916)-π/2
    2×1.00502742273061-π/2
    2.01005484546122-1.57079632675     		φ = 0.43925852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42946668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.606628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43925852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.167659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74495 KachelY 56063 0.42946668 0.43925852 24.606628 25.167659
    Oben rechts KachelX + 1 74496 KachelY 56063 0.42951462 0.43925852 24.609375 25.167659
    Unten links KachelX 74495 KachelY + 1 56064 0.42946668 0.43921513 24.606628 25.165173
    Unten rechts KachelX + 1 74496 KachelY + 1 56064 0.42951462 0.43921513 24.609375 25.165173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43925852-0.43921513) × R
    4.33899999999765e-05 × 6371000     		dl = 276.43768999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43925852-0.43921513) × R
    4.33899999999765e-05 × 6371000     		dr = 276.43768999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42946668-0.42951462) × cos(0.43925852) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.905067240072712 × 6371000     		do = 276.430831549104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42946668-0.42951462) × cos(0.43921513) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.905085691620626 × 6371000     		du = 276.43646712678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43925852)-sin(0.43921513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905067240072712-0.905085691620626)×R²
    abs(0.42951462-0.42946668)×1.84515479142444e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.84515479142444e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.84515479142444e-05×40589641000000     		ar = 76416.6794732281m²