Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74493 / 55047
↖ ↑ ↗
← N 27.666501°
E 24.601135°		 ← 270.50 m → N 27.666501°
E 24.603882°		 →
↑
270.45 m
↓
↑
270.45 m
↓
N 27.664069°
E 24.601135°		 ← 270.51 m →
73 159 m²		 N 27.664069°
E 24.603882°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568340301513672 y=0.419979095458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568340301513672 × 217)
    floor (0.568340301513672 × 131072)
    floor (74493.5)     		tx = 74493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419979095458984 × 217)
    floor (0.419979095458984 × 131072)
    floor (55047.5)     		ty = 55047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74493 / 55047 ti = "17/74493/55047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74493/55047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74493 ÷ 217
    74493 ÷ 131072     		x = 0.568336486816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55047 ÷ 217
    55047 ÷ 131072     		y = 0.419975280761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568336486816406 × 2 - 1) × π
    0.136672973632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.42937081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419975280761719 × 2 - 1) × π
    0.160049438476562 × 3.1415926535     		Φ = 0.502810140114769
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42937081} λ = 0.42937081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.502810140114769))-π/2
    2×atan(1.65336092446634)-π/2
    2×1.02683393562275-π/2
    2.0536678712455-1.57079632675     		φ = 0.48287154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42937081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.601135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48287154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.666501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74493 KachelY 55047 0.42937081 0.48287154 24.601135 27.666501
    Oben rechts KachelX + 1 74494 KachelY 55047 0.42941875 0.48287154 24.603882 27.666501
    Unten links KachelX 74493 KachelY + 1 55048 0.42937081 0.48282909 24.601135 27.664069
    Unten rechts KachelX + 1 74494 KachelY + 1 55048 0.42941875 0.48282909 24.603882 27.664069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48287154-0.48282909) × R
    4.24499999999717e-05 × 6371000     		dl = 270.44894999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48287154-0.48282909) × R
    4.24499999999717e-05 × 6371000     		dr = 270.44894999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42937081-0.42941875) × cos(0.48287154) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.885665250264763 × 6371000     		do = 270.504964454536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42937081-0.42941875) × cos(0.48282909) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.885684960033714 × 6371000     		du = 270.510984325303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48287154)-sin(0.48282909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885665250264763-0.885684960033714)×R²
    abs(0.42941875-0.42937081)×1.97097689506043e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.97097689506043e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.97097689506043e-05×40589641000000     		ar = 73158.597651297m²