Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74492 / 55036
↖ ↑ ↗
← N 27.693256°
E 24.598389°		 ← 270.44 m → N 27.693256°
E 24.601135°		 →
↑
270.39 m
↓
↑
270.39 m
↓
N 27.690824°
E 24.598389°		 ← 270.44 m →
73 123 m²		 N 27.690824°
E 24.601135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568332672119141 y=0.419895172119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568332672119141 × 217)
    floor (0.568332672119141 × 131072)
    floor (74492.5)     		tx = 74492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419895172119141 × 217)
    floor (0.419895172119141 × 131072)
    floor (55036.5)     		ty = 55036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74492 / 55036 ti = "17/74492/55036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74492/55036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74492 ÷ 217
    74492 ÷ 131072     		x = 0.568328857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55036 ÷ 217
    55036 ÷ 131072     		y = 0.419891357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568328857421875 × 2 - 1) × π
    0.13665771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42932287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419891357421875 × 2 - 1) × π
    0.16021728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.50333744601059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42932287} λ = 0.42932287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.50333744601059))-π/2
    2×atan(1.65423298132989)-π/2
    2×1.02706741528396-π/2
    2.05413483056791-1.57079632675     		φ = 0.48333850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42932287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.598389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48333850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.693256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74492 KachelY 55036 0.42932287 0.48333850 24.598389 27.693256
    Oben rechts KachelX + 1 74493 KachelY 55036 0.42937081 0.48333850 24.601135 27.693256
    Unten links KachelX 74492 KachelY + 1 55037 0.42932287 0.48329606 24.598389 27.690824
    Unten rechts KachelX + 1 74493 KachelY + 1 55037 0.42937081 0.48329606 24.601135 27.690824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48333850-0.48329606) × R
    4.24399999999769e-05 × 6371000     		dl = 270.385239999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48333850-0.48329606) × R
    4.24399999999769e-05 × 6371000     		dr = 270.385239999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42932287-0.42937081) × cos(0.48333850) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.885448332832659 × 6371000     		do = 270.438712287004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42932287-0.42937081) × cos(0.48329606) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.88546805550871 × 6371000     		du = 270.444736099931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48333850)-sin(0.48329606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885448332832659-0.88546805550871)×R²
    abs(0.42937081-0.42932287)×1.97226760508817e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97226760508817e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97226760508817e-05×40589641000000     		ar = 73123.4505129878m²