Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74492 / 53772
↖ ↑ ↗
← N 30.722949°
E 24.598389°		 ← 262.56 m → N 30.722949°
E 24.601135°		 →
↑
262.55 m
↓
↑
262.55 m
↓
N 30.720587°
E 24.598389°		 ← 262.56 m →
68 935 m²		 N 30.720587°
E 24.601135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568332672119141 y=0.410251617431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568332672119141 × 217)
    floor (0.568332672119141 × 131072)
    floor (74492.5)     		tx = 74492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410251617431641 × 217)
    floor (0.410251617431641 × 131072)
    floor (53772.5)     		ty = 53772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74492 / 53772 ti = "17/74492/53772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74492/53772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74492 ÷ 217
    74492 ÷ 131072     		x = 0.568328857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53772 ÷ 217
    53772 ÷ 131072     		y = 0.410247802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568328857421875 × 2 - 1) × π
    0.13665771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42932287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410247802734375 × 2 - 1) × π
    0.17950439453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.563929687130341
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42932287} λ = 0.42932287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.563929687130341))-π/2
    2×atan(1.757565630542)-π/2
    2×1.05350646984752-π/2
    2.10701293969504-1.57079632675     		φ = 0.53621661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42932287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.598389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53621661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.722949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74492 KachelY 53772 0.42932287 0.53621661 24.598389 30.722949
    Oben rechts KachelX + 1 74493 KachelY 53772 0.42937081 0.53621661 24.601135 30.722949
    Unten links KachelX 74492 KachelY + 1 53773 0.42932287 0.53617540 24.598389 30.720587
    Unten rechts KachelX + 1 74493 KachelY + 1 53773 0.42937081 0.53617540 24.601135 30.720587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53621661-0.53617540) × R
    4.12100000000137e-05 × 6371000     		dl = 262.548910000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53621661-0.53617540) × R
    4.12100000000137e-05 × 6371000     		dr = 262.548910000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42932287-0.42937081) × cos(0.53621661) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.859647715061913 × 6371000     		do = 262.558539511922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42932287-0.42937081) × cos(0.53617540) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.859668767996484 × 6371000     		du = 262.564969620042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53621661)-sin(0.53617540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859647715061913-0.859668767996484)×R²
    abs(0.42937081-0.42932287)×2.10529345709976e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.10529345709976e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.10529345709976e-05×40589641000000     		ar = 68935.3024787088m²