Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74490 / 56553
↖ ↑ ↗
← N 23.943586°
E 24.592896°		 ← 279.14 m → N 23.943586°
E 24.595642°		 →
↑
279.11 m
↓
↑
279.11 m
↓
N 23.941076°
E 24.592896°		 ← 279.15 m →
77 913 m²		 N 23.941076°
E 24.595642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568317413330078 y=0.431468963623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568317413330078 × 217)
    floor (0.568317413330078 × 131072)
    floor (74490.5)     		tx = 74490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431468963623047 × 217)
    floor (0.431468963623047 × 131072)
    floor (56553.5)     		ty = 56553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74490 / 56553 ti = "17/74490/56553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74490/56553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74490 ÷ 217
    74490 ÷ 131072     		x = 0.568313598632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56553 ÷ 217
    56553 ÷ 131072     		y = 0.431465148925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568313598632812 × 2 - 1) × π
    0.136627197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42922700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431465148925781 × 2 - 1) × π
    0.137069702148438 × 3.1415926535     		Φ = 0.430617169286964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42922700} λ = 0.42922700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.430617169286964))-π/2
    2×atan(1.53820656450731)-π/2
    2×0.994345366978441-π/2
    1.98869073395688-1.57079632675     		φ = 0.41789441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42922700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.592896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41789441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.943586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74490 KachelY 56553 0.42922700 0.41789441 24.592896 23.943586
    Oben rechts KachelX + 1 74491 KachelY 56553 0.42927494 0.41789441 24.595642 23.943586
    Unten links KachelX 74490 KachelY + 1 56554 0.42922700 0.41785060 24.592896 23.941076
    Unten rechts KachelX + 1 74491 KachelY + 1 56554 0.42927494 0.41785060 24.595642 23.941076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41789441-0.41785060) × R
    4.38099999999775e-05 × 6371000     		dl = 279.113509999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41789441-0.41785060) × R
    4.38099999999775e-05 × 6371000     		dr = 279.113509999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42922700-0.42927494) × cos(0.41789441) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.913945491916866 × 6371000     		do = 279.14247818819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42922700-0.42927494) × cos(0.41785060) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.913963270756986 × 6371000     		du = 279.14790830359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41789441)-sin(0.41785060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.913945491916866-0.913963270756986)×R²
    abs(0.42927494-0.42922700)×1.77788401206636e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77788401206636e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77788401206636e-05×40589641000000     		ar = 77913.1946989483m²