Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7449 / 7319
↖ ↑ ↗
← S 80.349631°
E147.348633°		 ← 819.15 m → S 80.349631°
E147.392578°		 →
↑
818.86 m
↓
↑
818.86 m
↓
S 80.356996°
E147.348633°		 ← 818.53 m →
670 519 m²		 S 80.356996°
E147.392578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90936279296875 y=0.89349365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90936279296875 × 213)
    floor (0.90936279296875 × 8192)
    floor (7449.5)     		tx = 7449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.89349365234375 × 213)
    floor (0.89349365234375 × 8192)
    floor (7319.5)     		ty = 7319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7449 / 7319 ti = "13/7449/7319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7449/7319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7449 ÷ 213
    7449 ÷ 8192     		x = 0.9093017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7319 ÷ 213
    7319 ÷ 8192     		y = 0.8934326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9093017578125 × 2 - 1) × π
    0.818603515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.57171879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8934326171875 × 2 - 1) × π
    -0.786865234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.47201003960706
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57171879} λ = 2.57171879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47201003960706))-π/2
    2×atan(0.0844150108427634)-π/2
    2×0.0842153529865359-π/2
    0.168430705973072-1.57079632675     		φ = -1.40236562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57171879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.348633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40236562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.349631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7449 KachelY 7319 2.57171879 -1.40236562 147.348633 -80.349631
    Oben rechts KachelX + 1 7450 KachelY 7319 2.57248578 -1.40236562 147.392578 -80.349631
    Unten links KachelX 7449 KachelY + 1 7320 2.57171879 -1.40249415 147.348633 -80.356996
    Unten rechts KachelX + 1 7450 KachelY + 1 7320 2.57248578 -1.40249415 147.392578 -80.356996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40236562--1.40249415) × R
    0.000128530000000016 × 6371000     		dl = 818.864630000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40236562--1.40249415) × R
    0.000128530000000016 × 6371000     		dr = 818.864630000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57171879-2.57248578) × cos(-1.40236562) × R
    0.000766990000000245 × 0.167635469903008 × 6371000     		do = 819.149598847309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57171879-2.57248578) × cos(-1.40249415) × R
    0.000766990000000245 × 0.167508757340305 × 6371000     		du = 818.530418759901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40236562)-sin(-1.40249415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167635469903008-0.167508757340305)×R²
    abs(2.57248578-2.57171879)×0.000126712562703191×R²
    0.000766990000000245×0.000126712562703191×6371000²
    0.000766990000000245×0.000126712562703191×40589641000000     		ar = 670519.121761685m²