Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7449 / 3411
↖ ↑ ↗
← N 71.835691°
W 16.325684°		 ← 761.66 m → N 71.835691°
W 16.303711°		 →
↑
761.78 m
↓
↑
761.78 m
↓
N 71.828840°
W 16.325684°		 ← 761.93 m →
580 320 m²		 N 71.828840°
W 16.303711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454681396484375 y=0.208221435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454681396484375 × 214)
    floor (0.454681396484375 × 16384)
    floor (7449.5)     		tx = 7449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208221435546875 × 214)
    floor (0.208221435546875 × 16384)
    floor (3411.5)     		ty = 3411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7449 / 3411 ti = "14/7449/3411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7449/3411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7449 ÷ 214
    7449 ÷ 16384     		x = 0.45465087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3411 ÷ 214
    3411 ÷ 16384     		y = 0.20819091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45465087890625 × 2 - 1) × π
    -0.0906982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28493693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20819091796875 × 2 - 1) × π
    0.5836181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.83349053666791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28493693} λ = -0.28493693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83349053666791))-π/2
    2×atan(6.25568428907265)-π/2
    2×1.4122828244278-π/2
    2.8245656488556-1.57079632675     		φ = 1.25376932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28493693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.325684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25376932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.835691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7449 KachelY 3411 -0.28493693 1.25376932 -16.325684 71.835691
    Oben rechts KachelX + 1 7450 KachelY 3411 -0.28455344 1.25376932 -16.303711 71.835691
    Unten links KachelX 7449 KachelY + 1 3412 -0.28493693 1.25364975 -16.325684 71.828840
    Unten rechts KachelX + 1 7450 KachelY + 1 3412 -0.28455344 1.25364975 -16.303711 71.828840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25376932-1.25364975) × R
    0.000119570000000069 × 6371000     		dl = 761.780470000438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25376932-1.25364975) × R
    0.000119570000000069 × 6371000     		dr = 761.780470000438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28493693--0.28455344) × cos(1.25376932) × R
    0.000383489999999986 × 0.311743104148435 × 6371000     		do = 761.655362735939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28493693--0.28455344) × cos(1.25364975) × R
    0.000383489999999986 × 0.311856713319223 × 6371000     		du = 761.932934342287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25376932)-sin(1.25364975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311743104148435-0.311856713319223)×R²
    abs(-0.28455344--0.28493693)×0.000113609170787787×R²
    0.000383489999999986×0.000113609170787787×6371000²
    0.000383489999999986×0.000113609170787787×40589641000000     		ar = 580319.905209184m²