Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7449 / 10631
↖ ↑ ↗
← S 47.144898°
W 16.325684°		 ← 1 661.74 m → S 47.144898°
W 16.303711°		 →
↑
1 661.49 m
↓
↑
1 661.49 m
↓
S 47.159840°
W 16.325684°		 ← 1 661.28 m →
2 760 589 m²		 S 47.159840°
W 16.303711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454681396484375 y=0.648895263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454681396484375 × 214)
    floor (0.454681396484375 × 16384)
    floor (7449.5)     		tx = 7449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648895263671875 × 214)
    floor (0.648895263671875 × 16384)
    floor (10631.5)     		ty = 10631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7449 / 10631 ti = "14/7449/10631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7449/10631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7449 ÷ 214
    7449 ÷ 16384     		x = 0.45465087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10631 ÷ 214
    10631 ÷ 16384     		y = 0.64886474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45465087890625 × 2 - 1) × π
    -0.0906982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28493693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64886474609375 × 2 - 1) × π
    -0.2977294921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.935344785386536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28493693} λ = -0.28493693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.935344785386536))-π/2
    2×atan(0.392450530994149)-π/2
    2×0.373981320087484-π/2
    0.747962640174967-1.57079632675     		φ = -0.82283369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28493693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.325684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82283369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.144898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7449 KachelY 10631 -0.28493693 -0.82283369 -16.325684 -47.144898
    Oben rechts KachelX + 1 7450 KachelY 10631 -0.28455344 -0.82283369 -16.303711 -47.144898
    Unten links KachelX 7449 KachelY + 1 10632 -0.28493693 -0.82309448 -16.325684 -47.159840
    Unten rechts KachelX + 1 7450 KachelY + 1 10632 -0.28455344 -0.82309448 -16.303711 -47.159840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82283369--0.82309448) × R
    0.000260790000000011 × 6371000     		dl = 1661.49309000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82283369--0.82309448) × R
    0.000260790000000011 × 6371000     		dr = 1661.49309000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28493693--0.28455344) × cos(-0.82283369) × R
    0.000383489999999986 × 0.680146630386361 × 6371000     		do = 1661.74430672856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28493693--0.28455344) × cos(-0.82309448) × R
    0.000383489999999986 × 0.679955428344822 × 6371000     		du = 1661.2771590728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82283369)-sin(-0.82309448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680146630386361-0.679955428344822)×R²
    abs(-0.28455344--0.28493693)×0.000191202041538552×R²
    0.000383489999999986×0.000191202041538552×6371000²
    0.000383489999999986×0.000191202041538552×40589641000000     		ar = 2760588.61732116m²