Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74488 / 77496
↖ ↑ ↗
← S 31.184609°
E 24.587403°		 ← 261.24 m → S 31.184609°
E 24.590149°		 →
↑
261.21 m
↓
↑
261.21 m
↓
S 31.186959°
E 24.587403°		 ← 261.23 m →
68 237 m²		 S 31.186959°
E 24.590149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568302154541016 y=0.591251373291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568302154541016 × 217)
    floor (0.568302154541016 × 131072)
    floor (74488.5)     		tx = 74488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591251373291016 × 217)
    floor (0.591251373291016 × 131072)
    floor (77496.5)     		ty = 77496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74488 / 77496 ti = "17/74488/77496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74488/77496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74488 ÷ 217
    74488 ÷ 131072     		x = 0.56829833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77496 ÷ 217
    77496 ÷ 131072     		y = 0.59124755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56829833984375 × 2 - 1) × π
    0.1365966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42913113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59124755859375 × 2 - 1) × π
    -0.1824951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.573325319455872
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42913113} λ = 0.42913113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.573325319455872))-π/2
    2×atan(0.563648009211852)-π/2
    2×0.513261110721346-π/2
    1.02652222144269-1.57079632675     		φ = -0.54427411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42913113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.587403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54427411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.184609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74488 KachelY 77496 0.42913113 -0.54427411 24.587403 -31.184609
    Oben rechts KachelX + 1 74489 KachelY 77496 0.42917906 -0.54427411 24.590149 -31.184609
    Unten links KachelX 74488 KachelY + 1 77497 0.42913113 -0.54431511 24.587403 -31.186959
    Unten rechts KachelX + 1 74489 KachelY + 1 77497 0.42917906 -0.54431511 24.590149 -31.186959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54427411--0.54431511) × R
    4.09999999999577e-05 × 6371000     		dl = 261.210999999731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54427411--0.54431511) × R
    4.09999999999577e-05 × 6371000     		dr = 261.210999999731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42913113-0.42917906) × cos(-0.54427411) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.855503379964959 × 6371000     		do = 261.238248777818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42913113-0.42917906) × cos(-0.54431511) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.855482149559663 × 6371000     		du = 261.23176581816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54427411)-sin(-0.54431511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855503379964959-0.855482149559663)×R²
    abs(0.42917906-0.42913113)×2.12304052954471e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.12304052954471e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.12304052954471e-05×40589641000000     		ar = 68237.4575007453m²