Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74488 / 53208
↖ ↑ ↗
← N 32.045333°
E 24.587403°		 ← 258.83 m → N 32.045333°
E 24.590149°		 →
↑
258.92 m
↓
↑
258.92 m
↓
N 32.043004°
E 24.587403°		 ← 258.84 m →
67 017 m²		 N 32.043004°
E 24.590149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568302154541016 y=0.405948638916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568302154541016 × 217)
    floor (0.568302154541016 × 131072)
    floor (74488.5)     		tx = 74488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405948638916016 × 217)
    floor (0.405948638916016 × 131072)
    floor (53208.5)     		ty = 53208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74488 / 53208 ti = "17/74488/53208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74488/53208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74488 ÷ 217
    74488 ÷ 131072     		x = 0.56829833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53208 ÷ 217
    53208 ÷ 131072     		y = 0.40594482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56829833984375 × 2 - 1) × π
    0.1365966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42913113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40594482421875 × 2 - 1) × π
    0.1881103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.590966098516052
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42913113} λ = 0.42913113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.590966098516052))-π/2
    2×atan(1.80573208807312)-π/2
    2×1.06504644735806-π/2
    2.13009289471612-1.57079632675     		φ = 0.55929657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42913113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.587403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55929657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.045333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74488 KachelY 53208 0.42913113 0.55929657 24.587403 32.045333
    Oben rechts KachelX + 1 74489 KachelY 53208 0.42917906 0.55929657 24.590149 32.045333
    Unten links KachelX 74488 KachelY + 1 53209 0.42913113 0.55925593 24.587403 32.043004
    Unten rechts KachelX + 1 74489 KachelY + 1 53209 0.42917906 0.55925593 24.590149 32.043004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55929657-0.55925593) × R
    4.06400000000362e-05 × 6371000     		dl = 258.917440000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55929657-0.55925593) × R
    4.06400000000362e-05 × 6371000     		dr = 258.917440000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42913113-0.42917906) × cos(0.55929657) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.847628553673068 × 6371000     		do = 258.833575835431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42913113-0.42917906) × cos(0.55925593) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.847650116154014 × 6371000     		du = 258.840160198384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55929657)-sin(0.55925593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847628553673068-0.847650116154014)×R²
    abs(0.42917906-0.42913113)×2.15624809463133e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.15624809463133e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.15624809463133e-05×40589641000000     		ar = 67017.3792538953m²