Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74487 / 77609
↖ ↑ ↗
← S 31.449754°
E 24.584656°		 ← 260.56 m → S 31.449754°
E 24.587403°		 →
↑
260.51 m
↓
↑
260.51 m
↓
S 31.452096°
E 24.584656°		 ← 260.55 m →
67 877 m²		 S 31.452096°
E 24.587403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568294525146484 y=0.592113494873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568294525146484 × 217)
    floor (0.568294525146484 × 131072)
    floor (74487.5)     		tx = 74487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592113494873047 × 217)
    floor (0.592113494873047 × 131072)
    floor (77609.5)     		ty = 77609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74487 / 77609 ti = "17/74487/77609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74487/77609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74487 ÷ 217
    74487 ÷ 131072     		x = 0.568290710449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77609 ÷ 217
    77609 ÷ 131072     		y = 0.592109680175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568290710449219 × 2 - 1) × π
    0.136581420898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.42908319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592109680175781 × 2 - 1) × π
    -0.184219360351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.578742189112938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42908319} λ = 0.42908319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.578742189112938))-π/2
    2×atan(0.560603055916578)-π/2
    2×0.510947290305491-π/2
    1.02189458061098-1.57079632675     		φ = -0.54890175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42908319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.584656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54890175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.449754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74487 KachelY 77609 0.42908319 -0.54890175 24.584656 -31.449754
    Oben rechts KachelX + 1 74488 KachelY 77609 0.42913113 -0.54890175 24.587403 -31.449754
    Unten links KachelX 74487 KachelY + 1 77610 0.42908319 -0.54894264 24.584656 -31.452096
    Unten rechts KachelX + 1 74488 KachelY + 1 77610 0.42913113 -0.54894264 24.587403 -31.452096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54890175--0.54894264) × R
    4.08900000000711e-05 × 6371000     		dl = 260.510190000453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54890175--0.54894264) × R
    4.08900000000711e-05 × 6371000     		dr = 260.510190000453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42908319-0.42913113) × cos(-0.54890175) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.853098049055802 × 6371000     		do = 260.558102925555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42908319-0.42913113) × cos(-0.54894264) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.853076713959408 × 6371000     		du = 260.551586637951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54890175)-sin(-0.54894264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853098049055802-0.853076713959408)×R²
    abs(0.42913113-0.42908319)×2.13350963940151e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.13350963940151e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.13350963940151e-05×40589641000000     		ar = 67877.1921290746m²