Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74487 / 77494
↖ ↑ ↗
← S 31.179909°
E 24.584656°		 ← 261.31 m → S 31.179909°
E 24.587403°		 →
↑
261.27 m
↓
↑
261.27 m
↓
S 31.182259°
E 24.584656°		 ← 261.30 m →
68 272 m²		 S 31.182259°
E 24.587403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568294525146484 y=0.591236114501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568294525146484 × 217)
    floor (0.568294525146484 × 131072)
    floor (74487.5)     		tx = 74487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591236114501953 × 217)
    floor (0.591236114501953 × 131072)
    floor (77494.5)     		ty = 77494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74487 / 77494 ti = "17/74487/77494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74487/77494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74487 ÷ 217
    74487 ÷ 131072     		x = 0.568290710449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77494 ÷ 217
    77494 ÷ 131072     		y = 0.591232299804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568290710449219 × 2 - 1) × π
    0.136581420898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.42908319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591232299804688 × 2 - 1) × π
    -0.182464599609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.573229445656631
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42908319} λ = 0.42908319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.573229445656631))-π/2
    2×atan(0.563702050878478)-π/2
    2×0.513302121919021-π/2
    1.02660424383804-1.57079632675     		φ = -0.54419208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42908319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.584656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54419208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.179909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74487 KachelY 77494 0.42908319 -0.54419208 24.584656 -31.179909
    Oben rechts KachelX + 1 74488 KachelY 77494 0.42913113 -0.54419208 24.587403 -31.179909
    Unten links KachelX 74487 KachelY + 1 77495 0.42908319 -0.54423309 24.584656 -31.182259
    Unten rechts KachelX + 1 74488 KachelY + 1 77495 0.42913113 -0.54423309 24.587403 -31.182259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54419208--0.54423309) × R
    4.1010000000008e-05 × 6371000     		dl = 261.274710000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54419208--0.54423309) × R
    4.1010000000008e-05 × 6371000     		dr = 261.274710000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42908319-0.42913113) × cos(-0.54419208) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.855545851993022 × 6371000     		do = 261.30572494903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42908319-0.42913113) × cos(-0.54423309) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.855524619287396 × 6371000     		du = 261.299239934202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54419208)-sin(-0.54423309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855545851993022-0.855524619287396)×R²
    abs(0.42913113-0.42908319)×2.12327056263728e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.12327056263728e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.12327056263728e-05×40589641000000     		ar = 68271.7303317713m²