Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74487 / 56574
↖ ↑ ↗
← N 23.890860°
E 24.584656°		 ← 279.26 m → N 23.890860°
E 24.587403°		 →
↑
279.24 m
↓
↑
279.24 m
↓
N 23.888349°
E 24.584656°		 ← 279.26 m →
77 981 m²		 N 23.888349°
E 24.587403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568294525146484 y=0.431629180908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568294525146484 × 217)
    floor (0.568294525146484 × 131072)
    floor (74487.5)     		tx = 74487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431629180908203 × 217)
    floor (0.431629180908203 × 131072)
    floor (56574.5)     		ty = 56574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74487 / 56574 ti = "17/74487/56574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74487/56574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74487 ÷ 217
    74487 ÷ 131072     		x = 0.568290710449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56574 ÷ 217
    56574 ÷ 131072     		y = 0.431625366210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568290710449219 × 2 - 1) × π
    0.136581420898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.42908319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431625366210938 × 2 - 1) × π
    0.136749267578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.429610494394943
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42908319} λ = 0.42908319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.429610494394943))-π/2
    2×atan(1.53665886972352)-π/2
    2×0.993885250070055-π/2
    1.98777050014011-1.57079632675     		φ = 0.41697417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42908319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.584656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41697417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.890860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74487 KachelY 56574 0.42908319 0.41697417 24.584656 23.890860
    Oben rechts KachelX + 1 74488 KachelY 56574 0.42913113 0.41697417 24.587403 23.890860
    Unten links KachelX 74487 KachelY + 1 56575 0.42908319 0.41693034 24.584656 23.888349
    Unten rechts KachelX + 1 74488 KachelY + 1 56575 0.42913113 0.41693034 24.587403 23.888349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41697417-0.41693034) × R
    4.3829999999967e-05 × 6371000     		dl = 279.240929999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41697417-0.41693034) × R
    4.3829999999967e-05 × 6371000     		dr = 279.240929999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42908319-0.42913113) × cos(0.41697417) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.914318572284357 × 6371000     		do = 279.256426535834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42908319-0.42913113) × cos(0.41693034) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.914336322369345 × 6371000     		du = 279.261847868676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41697417)-sin(0.41693034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914318572284357-0.914336322369345)×R²
    abs(0.42913113-0.42908319)×1.77500849876111e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.77500849876111e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.77500849876111e-05×40589641000000     		ar = 77980.581195819m²