Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74486 / 77966
↖ ↑ ↗
← S 32.282489°
E 24.581909°		 ← 258.21 m → S 32.282489°
E 24.584656°		 →
↑
258.15 m
↓
↑
258.15 m
↓
S 32.284810°
E 24.581909°		 ← 258.21 m →
66 658 m²		 S 32.284810°
E 24.584656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568286895751953 y=0.594837188720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568286895751953 × 217)
    floor (0.568286895751953 × 131072)
    floor (74486.5)     		tx = 74486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.594837188720703 × 217)
    floor (0.594837188720703 × 131072)
    floor (77966.5)     		ty = 77966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74486 / 77966 ti = "17/74486/77966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74486/77966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74486 ÷ 217
    74486 ÷ 131072     		x = 0.568283081054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77966 ÷ 217
    77966 ÷ 131072     		y = 0.594833374023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568283081054688 × 2 - 1) × π
    0.136566162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42903525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.594833374023438 × 2 - 1) × π
    -0.189666748046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.595855662277298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42903525} λ = 0.42903525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.595855662277298))-π/2
    2×atan(0.551090816444523)-π/2
    2×0.503680304191916-π/2
    1.00736060838383-1.57079632675     		φ = -0.56343572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42903525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.581909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56343572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.282489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74486 KachelY 77966 0.42903525 -0.56343572 24.581909 -32.282489
    Oben rechts KachelX + 1 74487 KachelY 77966 0.42908319 -0.56343572 24.584656 -32.282489
    Unten links KachelX 74486 KachelY + 1 77967 0.42903525 -0.56347624 24.581909 -32.284810
    Unten rechts KachelX + 1 74487 KachelY + 1 77967 0.42908319 -0.56347624 24.584656 -32.284810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56343572--0.56347624) × R
    4.05199999999883e-05 × 6371000     		dl = 258.152919999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56343572--0.56347624) × R
    4.05199999999883e-05 × 6371000     		dr = 258.152919999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42903525-0.42908319) × cos(-0.56343572) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.845425106992367 × 6371000     		do = 258.214588917853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42903525-0.42908319) × cos(-0.56347624) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.845403464809923 × 6371000     		du = 258.207978838264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56343572)-sin(-0.56347624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.845425106992367-0.845403464809923)×R²
    abs(0.42908319-0.42903525)×2.16421824441593e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.16421824441593e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.16421824441593e-05×40589641000000     		ar = 66657.9969191165m²