Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74486 / 77501
↖ ↑ ↗
← S 31.196357°
E 24.581909°		 ← 261.26 m → S 31.196357°
E 24.584656°		 →
↑
261.27 m
↓
↑
261.27 m
↓
S 31.198706°
E 24.581909°		 ← 261.25 m →
68 260 m²		 S 31.198706°
E 24.584656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568286895751953 y=0.591289520263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568286895751953 × 217)
    floor (0.568286895751953 × 131072)
    floor (74486.5)     		tx = 74486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591289520263672 × 217)
    floor (0.591289520263672 × 131072)
    floor (77501.5)     		ty = 77501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74486 / 77501 ti = "17/74486/77501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74486/77501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74486 ÷ 217
    74486 ÷ 131072     		x = 0.568283081054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77501 ÷ 217
    77501 ÷ 131072     		y = 0.591285705566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568283081054688 × 2 - 1) × π
    0.136566162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42903525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591285705566406 × 2 - 1) × π
    -0.182571411132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.573565003953972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42903525} λ = 0.42903525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.573565003953972))-π/2
    2×atan(0.563512927710777)-π/2
    2×0.513158591634501-π/2
    1.026317183269-1.57079632675     		φ = -0.54447914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42903525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.581909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54447914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.196357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74486 KachelY 77501 0.42903525 -0.54447914 24.581909 -31.196357
    Oben rechts KachelX + 1 74487 KachelY 77501 0.42908319 -0.54447914 24.584656 -31.196357
    Unten links KachelX 74486 KachelY + 1 77502 0.42903525 -0.54452015 24.581909 -31.198706
    Unten rechts KachelX + 1 74487 KachelY + 1 77502 0.42908319 -0.54452015 24.584656 -31.198706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54447914--0.54452015) × R
    4.1010000000008e-05 × 6371000     		dl = 261.274710000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54447914--0.54452015) × R
    4.1010000000008e-05 × 6371000     		dr = 261.274710000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42903525-0.42908319) × cos(-0.54447914) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.855397198019005 × 6371000     		do = 261.260322199012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42903525-0.42908319) × cos(-0.54452015) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.85537595524261 × 6371000     		du = 261.253834108312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54447914)-sin(-0.54452015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855397198019005-0.85537595524261)×R²
    abs(0.42908319-0.42903525)×2.12427763950362e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.12427763950362e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.12427763950362e-05×40589641000000     		ar = 68259.8673396205m²