Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74485 / 76940
↖ ↑ ↗
← S 29.869229°
E 24.579162°		 ← 264.85 m → S 29.869229°
E 24.581909°		 →
↑
264.84 m
↓
↑
264.84 m
↓
S 29.871611°
E 24.579162°		 ← 264.85 m →
70 144 m²		 S 29.871611°
E 24.581909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568279266357422 y=0.587009429931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568279266357422 × 217)
    floor (0.568279266357422 × 131072)
    floor (74485.5)     		tx = 74485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587009429931641 × 217)
    floor (0.587009429931641 × 131072)
    floor (76940.5)     		ty = 76940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74485 / 76940 ti = "17/74485/76940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74485/76940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74485 ÷ 217
    74485 ÷ 131072     		x = 0.568275451660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76940 ÷ 217
    76940 ÷ 131072     		y = 0.587005615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568275451660156 × 2 - 1) × π
    0.136550903320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.42898731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587005615234375 × 2 - 1) × π
    -0.17401123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.54667240326712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42898731} λ = 0.42898731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.54667240326712))-π/2
    2×atan(0.578872864484339)-π/2
    2×0.524739969181137-π/2
    1.04947993836227-1.57079632675     		φ = -0.52131639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42898731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.579162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52131639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.869229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74485 KachelY 76940 0.42898731 -0.52131639 24.579162 -29.869229
    Oben rechts KachelX + 1 74486 KachelY 76940 0.42903525 -0.52131639 24.581909 -29.869229
    Unten links KachelX 74485 KachelY + 1 76941 0.42898731 -0.52135796 24.579162 -29.871611
    Unten rechts KachelX + 1 74486 KachelY + 1 76941 0.42903525 -0.52135796 24.581909 -29.871611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52131639--0.52135796) × R
    4.15700000000463e-05 × 6371000     		dl = 264.842470000295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52131639--0.52135796) × R
    4.15700000000463e-05 × 6371000     		dr = 264.842470000295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42898731-0.42903525) × cos(-0.52131639) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.86716433990762 × 6371000     		do = 264.854310217723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42898731-0.42903525) × cos(-0.52135796) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.867143636379858 × 6371000     		du = 264.847986827435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52131639)-sin(-0.52135796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86716433990762-0.867143636379858)×R²
    abs(0.42903525-0.42898731)×2.0703527761512e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.0703527761512e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.0703527761512e-05×40589641000000     		ar = 70143.8323672768m²