Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74484 / 53484
↖ ↑ ↗
← N 31.400535°
E 24.576416°		 ← 260.64 m → N 31.400535°
E 24.579162°		 →
↑
260.70 m
↓
↑
260.70 m
↓
N 31.398191°
E 24.576416°		 ← 260.65 m →
67 950 m²		 N 31.398191°
E 24.579162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568271636962891 y=0.408054351806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568271636962891 × 217)
    floor (0.568271636962891 × 131072)
    floor (74484.5)     		tx = 74484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408054351806641 × 217)
    floor (0.408054351806641 × 131072)
    floor (53484.5)     		ty = 53484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74484 / 53484 ti = "17/74484/53484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74484/53484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74484 ÷ 217
    74484 ÷ 131072     		x = 0.568267822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53484 ÷ 217
    53484 ÷ 131072     		y = 0.408050537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568267822265625 × 2 - 1) × π
    0.13653564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42893938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408050537109375 × 2 - 1) × π
    0.18389892578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.577735514220917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42893938} λ = 0.42893938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.577735514220917))-π/2
    2×atan(1.78199854797763)-π/2
    2×1.05941952756169-π/2
    2.11883905512337-1.57079632675     		φ = 0.54804273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42893938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.576416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54804273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.400535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74484 KachelY 53484 0.42893938 0.54804273 24.576416 31.400535
    Oben rechts KachelX + 1 74485 KachelY 53484 0.42898731 0.54804273 24.579162 31.400535
    Unten links KachelX 74484 KachelY + 1 53485 0.42893938 0.54800181 24.576416 31.398191
    Unten rechts KachelX + 1 74485 KachelY + 1 53485 0.42898731 0.54800181 24.579162 31.398191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54804273-0.54800181) × R
    4.09199999999998e-05 × 6371000     		dl = 260.701319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54804273-0.54800181) × R
    4.09199999999998e-05 × 6371000     		dr = 260.701319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42893938-0.42898731) × cos(0.54804273) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.853545928468811 × 6371000     		do = 260.64051741563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42893938-0.42898731) × cos(0.54800181) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.853567247794721 × 6371000     		du = 260.647027528269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54804273)-sin(0.54800181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853545928468811-0.853567247794721)×R²
    abs(0.42898731-0.42893938)×2.13193259107625e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.13193259107625e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.13193259107625e-05×40589641000000     		ar = 67950.1755426496m²