Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74483 / 77548
↖ ↑ ↗
← S 31.306715°
E 24.573669°		 ← 260.96 m → S 31.306715°
E 24.576416°		 →
↑
260.89 m
↓
↑
260.89 m
↓
S 31.309062°
E 24.573669°		 ← 260.95 m →
68 080 m²		 S 31.309062°
E 24.576416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568264007568359 y=0.591648101806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568264007568359 × 217)
    floor (0.568264007568359 × 131072)
    floor (74483.5)     		tx = 74483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591648101806641 × 217)
    floor (0.591648101806641 × 131072)
    floor (77548.5)     		ty = 77548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74483 / 77548 ti = "17/74483/77548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74483/77548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74483 ÷ 217
    74483 ÷ 131072     		x = 0.568260192871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77548 ÷ 217
    77548 ÷ 131072     		y = 0.591644287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568260192871094 × 2 - 1) × π
    0.136520385742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.42889144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591644287109375 × 2 - 1) × π
    -0.18328857421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.575818038236115
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42889144} λ = 0.42889144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.575818038236115))-π/2
    2×atan(0.562244742934562)-π/2
    2×0.512195534684445-π/2
    1.02439106936889-1.57079632675     		φ = -0.54640526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42889144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.573669°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54640526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.306715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74483 KachelY 77548 0.42889144 -0.54640526 24.573669 -31.306715
    Oben rechts KachelX + 1 74484 KachelY 77548 0.42893938 -0.54640526 24.576416 -31.306715
    Unten links KachelX 74483 KachelY + 1 77549 0.42889144 -0.54644621 24.573669 -31.309062
    Unten rechts KachelX + 1 74484 KachelY + 1 77549 0.42893938 -0.54644621 24.576416 -31.309062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54640526--0.54644621) × R
    4.09500000000396e-05 × 6371000     		dl = 260.892450000252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54640526--0.54644621) × R
    4.09500000000396e-05 × 6371000     		dr = 260.892450000252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42889144-0.42893938) × cos(-0.54640526) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.854397934480848 × 6371000     		do = 260.955121393113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42889144-0.42893938) × cos(-0.54644621) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.854376655356014 × 6371000     		du = 260.948622200665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54640526)-sin(-0.54644621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854397934480848-0.854376655356014)×R²
    abs(0.42893938-0.42889144)×2.12791248331845e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.12791248331845e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.12791248331845e-05×40589641000000     		ar = 68080.3731747411m²