Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74482 / 76462
↖ ↑ ↗
← S 28.724313°
E 24.570923°		 ← 267.84 m → S 28.724313°
E 24.573669°		 →
↑
267.84 m
↓
↑
267.84 m
↓
S 28.726722°
E 24.570923°		 ← 267.83 m →
71 737 m²		 S 28.726722°
E 24.573669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568256378173828 y=0.583362579345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568256378173828 × 217)
    floor (0.568256378173828 × 131072)
    floor (74482.5)     		tx = 74482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583362579345703 × 217)
    floor (0.583362579345703 × 131072)
    floor (76462.5)     		ty = 76462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74482 / 76462 ti = "17/74482/76462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74482/76462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74482 ÷ 217
    74482 ÷ 131072     		x = 0.568252563476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76462 ÷ 217
    76462 ÷ 131072     		y = 0.583358764648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568252563476562 × 2 - 1) × π
    0.136505126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42884350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583358764648438 × 2 - 1) × π
    -0.166717529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.523758565248734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42884350} λ = 0.42884350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.523758565248734))-π/2
    2×atan(0.592290197782933)-π/2
    2×0.534731241245157-π/2
    1.06946248249031-1.57079632675     		φ = -0.50133384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42884350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.570923°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50133384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.724313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74482 KachelY 76462 0.42884350 -0.50133384 24.570923 -28.724313
    Oben rechts KachelX + 1 74483 KachelY 76462 0.42889144 -0.50133384 24.573669 -28.724313
    Unten links KachelX 74482 KachelY + 1 76463 0.42884350 -0.50137588 24.570923 -28.726722
    Unten rechts KachelX + 1 74483 KachelY + 1 76463 0.42889144 -0.50137588 24.573669 -28.726722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50133384--0.50137588) × R
    4.20399999999654e-05 × 6371000     		dl = 267.83683999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50133384--0.50137588) × R
    4.20399999999654e-05 × 6371000     		dr = 267.83683999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42884350-0.42889144) × cos(-0.50133384) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.876942304453339 × 6371000     		do = 267.840752275101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42884350-0.42889144) × cos(-0.50137588) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.876922099436588 × 6371000     		du = 267.834581142908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50133384)-sin(-0.50137588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876942304453339-0.876922099436588)×R²
    abs(0.42889144-0.42884350)×2.02050167508183e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.02050167508183e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.02050167508183e-05×40589641000000     		ar = 71736.7942948233m²