Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74481 / 55315
↖ ↑ ↗
← N 27.012644°
E 24.568176°		 ← 272.05 m → N 27.012644°
E 24.570923°		 →
↑
272.11 m
↓
↑
272.11 m
↓
N 27.010196°
E 24.568176°		 ← 272.05 m →
74 027 m²		 N 27.010196°
E 24.570923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568248748779297 y=0.422023773193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568248748779297 × 217)
    floor (0.568248748779297 × 131072)
    floor (74481.5)     		tx = 74481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422023773193359 × 217)
    floor (0.422023773193359 × 131072)
    floor (55315.5)     		ty = 55315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74481 / 55315 ti = "17/74481/55315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74481/55315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74481 ÷ 217
    74481 ÷ 131072     		x = 0.568244934082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55315 ÷ 217
    55315 ÷ 131072     		y = 0.422019958496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568244934082031 × 2 - 1) × π
    0.136489868164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.42879557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422019958496094 × 2 - 1) × π
    0.155960083007812 × 3.1415926535     		Φ = 0.489963051016594
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42879557} λ = 0.42879557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.489963051016594))-π/2
    2×atan(1.63225590864468)-π/2
    2×1.02112794694092-π/2
    2.04225589388183-1.57079632675     		φ = 0.47145957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42879557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.568176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47145957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.012644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74481 KachelY 55315 0.42879557 0.47145957 24.568176 27.012644
    Oben rechts KachelX + 1 74482 KachelY 55315 0.42884350 0.47145957 24.570923 27.012644
    Unten links KachelX 74481 KachelY + 1 55316 0.42879557 0.47141686 24.568176 27.010196
    Unten rechts KachelX + 1 74482 KachelY + 1 55316 0.42884350 0.47141686 24.570923 27.010196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47145957-0.47141686) × R
    4.27100000000014e-05 × 6371000     		dl = 272.105410000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47145957-0.47141686) × R
    4.27100000000014e-05 × 6371000     		dr = 272.105410000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42879557-0.42884350) × cos(0.47145957) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.890906319520809 × 6371000     		do = 272.048962268554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42879557-0.42884350) × cos(0.47141686) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.890925717039651 × 6371000     		du = 272.054885534285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47145957)-sin(0.47141686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890906319520809-0.890925717039651)×R²
    abs(0.42884350-0.42879557)×1.9397518842057e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.9397518842057e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.9397518842057e-05×40589641000000     		ar = 74026.8003057197m²