Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74481 / 53808
↖ ↑ ↗
← N 30.637912°
E 24.568176°		 ← 262.74 m → N 30.637912°
E 24.570923°		 →
↑
262.74 m
↓
↑
262.74 m
↓
N 30.635549°
E 24.568176°		 ← 262.74 m →
69 032 m²		 N 30.635549°
E 24.570923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568248748779297 y=0.410526275634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568248748779297 × 217)
    floor (0.568248748779297 × 131072)
    floor (74481.5)     		tx = 74481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410526275634766 × 217)
    floor (0.410526275634766 × 131072)
    floor (53808.5)     		ty = 53808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74481 / 53808 ti = "17/74481/53808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74481/53808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74481 ÷ 217
    74481 ÷ 131072     		x = 0.568244934082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53808 ÷ 217
    53808 ÷ 131072     		y = 0.4105224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568244934082031 × 2 - 1) × π
    0.136489868164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.42879557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4105224609375 × 2 - 1) × π
    0.178955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.562203958744019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42879557} λ = 0.42879557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.562203958744019))-π/2
    2×atan(1.75453516527462)-π/2
    2×1.052764383806-π/2
    2.105528767612-1.57079632675     		φ = 0.53473244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42879557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.568176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53473244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.637912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74481 KachelY 53808 0.42879557 0.53473244 24.568176 30.637912
    Oben rechts KachelX + 1 74482 KachelY 53808 0.42884350 0.53473244 24.570923 30.637912
    Unten links KachelX 74481 KachelY + 1 53809 0.42879557 0.53469120 24.568176 30.635549
    Unten rechts KachelX + 1 74482 KachelY + 1 53809 0.42884350 0.53469120 24.570923 30.635549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53473244-0.53469120) × R
    4.12399999999424e-05 × 6371000     		dl = 262.740039999633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53473244-0.53469120) × R
    4.12399999999424e-05 × 6371000     		dr = 262.740039999633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42879557-0.42884350) × cos(0.53473244) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.86040501154903 × 6371000     		do = 262.735020948642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42879557-0.42884350) × cos(0.53469120) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.860426027168722 × 6371000     		du = 262.741438320933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53473244)-sin(0.53469120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86040501154903-0.860426027168722)×R²
    abs(0.42884350-0.42879557)×2.1015619691811e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.1015619691811e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.1015619691811e-05×40589641000000     		ar = 69031.8529734608m²