Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74480 / 55344
↖ ↑ ↗
← N 26.941660°
E 24.565430°		 ← 272.28 m → N 26.941660°
E 24.568176°		 →
↑
272.30 m
↓
↑
272.30 m
↓
N 26.939211°
E 24.565430°		 ← 272.28 m →
74 141 m²		 N 26.939211°
E 24.568176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568241119384766 y=0.422245025634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568241119384766 × 217)
    floor (0.568241119384766 × 131072)
    floor (74480.5)     		tx = 74480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422245025634766 × 217)
    floor (0.422245025634766 × 131072)
    floor (55344.5)     		ty = 55344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74480 / 55344 ti = "17/74480/55344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74480/55344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74480 ÷ 217
    74480 ÷ 131072     		x = 0.5682373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55344 ÷ 217
    55344 ÷ 131072     		y = 0.4222412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5682373046875 × 2 - 1) × π
    0.136474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42874763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4222412109375 × 2 - 1) × π
    0.155517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.488572880927612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42874763} λ = 0.42874763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.488572880927612))-π/2
    2×atan(1.62998837179905)-π/2
    2×1.02050849590036-π/2
    2.04101699180071-1.57079632675     		φ = 0.47022067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42874763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.565430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47022067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.941660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74480 KachelY 55344 0.42874763 0.47022067 24.565430 26.941660
    Oben rechts KachelX + 1 74481 KachelY 55344 0.42879557 0.47022067 24.568176 26.941660
    Unten links KachelX 74480 KachelY + 1 55345 0.42874763 0.47017793 24.565430 26.939211
    Unten rechts KachelX + 1 74481 KachelY + 1 55345 0.42879557 0.47017793 24.568176 26.939211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47022067-0.47017793) × R
    4.27399999999856e-05 × 6371000     		dl = 272.296539999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47022067-0.47017793) × R
    4.27399999999856e-05 × 6371000     		dr = 272.296539999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42874763-0.42879557) × cos(0.47022067) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.891468328071976 × 6371000     		do = 272.277373788083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42874763-0.42879557) × cos(0.47017793) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.891487692025879 × 6371000     		du = 272.283288038033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47022067)-sin(0.47017793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891468328071976-0.891487692025879)×R²
    abs(0.42879557-0.42874763)×1.93639539030066e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.93639539030066e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.93639539030066e-05×40589641000000     		ar = 74140.9920289557m²