Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74478 / 76989
↖ ↑ ↗
← S 29.985866°
E 24.559937°		 ← 264.49 m → S 29.985866°
E 24.562683°		 →
↑
264.52 m
↓
↑
264.52 m
↓
S 29.988245°
E 24.559937°		 ← 264.48 m →
69 963 m²		 S 29.988245°
E 24.562683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568225860595703 y=0.587383270263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568225860595703 × 217)
    floor (0.568225860595703 × 131072)
    floor (74478.5)     		tx = 74478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587383270263672 × 217)
    floor (0.587383270263672 × 131072)
    floor (76989.5)     		ty = 76989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74478 / 76989 ti = "17/74478/76989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74478/76989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74478 ÷ 217
    74478 ÷ 131072     		x = 0.568222045898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76989 ÷ 217
    76989 ÷ 131072     		y = 0.587379455566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568222045898438 × 2 - 1) × π
    0.136444091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42865176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587379455566406 × 2 - 1) × π
    -0.174758911132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.549021311348503
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42865176} λ = 0.42865176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.549021311348503))-π/2
    2×atan(0.577514741012896)-π/2
    2×0.523722120680688-π/2
    1.04744424136138-1.57079632675     		φ = -0.52335209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42865176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.559937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52335209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.985866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74478 KachelY 76989 0.42865176 -0.52335209 24.559937 -29.985866
    Oben rechts KachelX + 1 74479 KachelY 76989 0.42869969 -0.52335209 24.562683 -29.985866
    Unten links KachelX 74478 KachelY + 1 76990 0.42865176 -0.52339361 24.559937 -29.988245
    Unten rechts KachelX + 1 74479 KachelY + 1 76990 0.42869969 -0.52339361 24.562683 -29.988245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52335209--0.52339361) × R
    4.15199999999061e-05 × 6371000     		dl = 264.523919999402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52335209--0.52339361) × R
    4.15199999999061e-05 × 6371000     		dr = 264.523919999402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42865176-0.42869969) × cos(-0.52335209) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.866148720231876 × 6371000     		do = 264.48893149207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42865176-0.42869969) × cos(-0.52339361) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.866127968356098 × 6371000     		du = 264.482594657156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52335209)-sin(-0.52339361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866148720231876-0.866127968356098)×R²
    abs(0.42869969-0.42865176)×2.07518757773251e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.07518757773251e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.07518757773251e-05×40589641000000     		ar = 69962.8108425323m²