Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74478 / 56374
↖ ↑ ↗
← N 24.392130°
E 24.559937°		 ← 278.11 m → N 24.392130°
E 24.562683°		 →
↑
278.09 m
↓
↑
278.09 m
↓
N 24.389629°
E 24.559937°		 ← 278.11 m →
77 340 m²		 N 24.389629°
E 24.562683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568225860595703 y=0.430103302001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568225860595703 × 217)
    floor (0.568225860595703 × 131072)
    floor (74478.5)     		tx = 74478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430103302001953 × 217)
    floor (0.430103302001953 × 131072)
    floor (56374.5)     		ty = 56374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74478 / 56374 ti = "17/74478/56374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74478/56374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74478 ÷ 217
    74478 ÷ 131072     		x = 0.568222045898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56374 ÷ 217
    56374 ÷ 131072     		y = 0.430099487304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568222045898438 × 2 - 1) × π
    0.136444091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42865176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430099487304688 × 2 - 1) × π
    0.139801025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.439197874318954
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42865176} λ = 0.42865176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.439197874318954))-π/2
    2×atan(1.55146225155296)-π/2
    2×0.998259655785508-π/2
    1.99651931157102-1.57079632675     		φ = 0.42572298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42865176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.559937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42572298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.392130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74478 KachelY 56374 0.42865176 0.42572298 24.559937 24.392130
    Oben rechts KachelX + 1 74479 KachelY 56374 0.42869969 0.42572298 24.562683 24.392130
    Unten links KachelX 74478 KachelY + 1 56375 0.42865176 0.42567933 24.559937 24.389629
    Unten rechts KachelX + 1 74479 KachelY + 1 56375 0.42869969 0.42567933 24.562683 24.389629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42572298-0.42567933) × R
    4.36499999999507e-05 × 6371000     		dl = 278.094149999686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42572298-0.42567933) × R
    4.36499999999507e-05 × 6371000     		dr = 278.094149999686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42865176-0.42869969) × cos(0.42572298) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.910740395201219 × 6371000     		do = 278.105535881817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42865176-0.42869969) × cos(0.42567933) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.910758420881634 × 6371000     		du = 278.11104024018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42572298)-sin(0.42567933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910740395201219-0.910758420881634)×R²
    abs(0.42869969-0.42865176)×1.80256804145351e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.80256804145351e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.80256804145351e-05×40589641000000     		ar = 77340.2879885145m²