Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74478 / 53906
↖ ↑ ↗
← N 30.406045°
E 24.559937°		 ← 263.36 m → N 30.406045°
E 24.562683°		 →
↑
263.44 m
↓
↑
263.44 m
↓
N 30.403675°
E 24.559937°		 ← 263.37 m →
69 381 m²		 N 30.403675°
E 24.562683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568225860595703 y=0.411273956298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568225860595703 × 217)
    floor (0.568225860595703 × 131072)
    floor (74478.5)     		tx = 74478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411273956298828 × 217)
    floor (0.411273956298828 × 131072)
    floor (53906.5)     		ty = 53906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74478 / 53906 ti = "17/74478/53906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74478/53906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74478 ÷ 217
    74478 ÷ 131072     		x = 0.568222045898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53906 ÷ 217
    53906 ÷ 131072     		y = 0.411270141601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568222045898438 × 2 - 1) × π
    0.136444091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42865176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.411270141601562 × 2 - 1) × π
    0.177459716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.557506142581253
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42865176} λ = 0.42865176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.557506142581253))-π/2
    2×atan(1.74631201217121)-π/2
    2×1.05074095589964-π/2
    2.10148191179928-1.57079632675     		φ = 0.53068559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42865176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.559937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53068559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.406045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74478 KachelY 53906 0.42865176 0.53068559 24.559937 30.406045
    Oben rechts KachelX + 1 74479 KachelY 53906 0.42869969 0.53068559 24.562683 30.406045
    Unten links KachelX 74478 KachelY + 1 53907 0.42865176 0.53064424 24.559937 30.403675
    Unten rechts KachelX + 1 74479 KachelY + 1 53907 0.42869969 0.53064424 24.562683 30.403675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53068559-0.53064424) × R
    4.13500000000511e-05 × 6371000     		dl = 263.440850000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53068559-0.53064424) × R
    4.13500000000511e-05 × 6371000     		dr = 263.440850000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42865176-0.42869969) × cos(0.53068559) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.862460279164346 × 6371000     		do = 263.362621640153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42865176-0.42869969) × cos(0.53064424) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.862481206685601 × 6371000     		du = 263.369012110526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53068559)-sin(0.53064424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862460279164346-0.862481206685601)×R²
    abs(0.42869969-0.42865176)×2.09275212552651e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.09275212552651e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.09275212552651e-05×40589641000000     		ar = 69381.3146685587m²