Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74478 / 53199
↖ ↑ ↗
← N 32.066283°
E 24.559937°		 ← 258.77 m → N 32.066283°
E 24.562683°		 →
↑
258.79 m
↓
↑
258.79 m
↓
N 32.063956°
E 24.559937°		 ← 258.78 m →
66 969 m²		 N 32.063956°
E 24.562683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568225860595703 y=0.405879974365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568225860595703 × 217)
    floor (0.568225860595703 × 131072)
    floor (74478.5)     		tx = 74478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405879974365234 × 217)
    floor (0.405879974365234 × 131072)
    floor (53199.5)     		ty = 53199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74478 / 53199 ti = "17/74478/53199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74478/53199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74478 ÷ 217
    74478 ÷ 131072     		x = 0.568222045898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53199 ÷ 217
    53199 ÷ 131072     		y = 0.405876159667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568222045898438 × 2 - 1) × π
    0.136444091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42865176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405876159667969 × 2 - 1) × π
    0.188247680664062 × 3.1415926535     		Φ = 0.591397530612633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42865176} λ = 0.42865176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.591397530612633))-π/2
    2×atan(1.80651130693167)-π/2
    2×1.06522927350975-π/2
    2.13045854701949-1.57079632675     		φ = 0.55966222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42865176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.559937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55966222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.066283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74478 KachelY 53199 0.42865176 0.55966222 24.559937 32.066283
    Oben rechts KachelX + 1 74479 KachelY 53199 0.42869969 0.55966222 24.562683 32.066283
    Unten links KachelX 74478 KachelY + 1 53200 0.42865176 0.55962160 24.559937 32.063956
    Unten rechts KachelX + 1 74479 KachelY + 1 53200 0.42869969 0.55962160 24.562683 32.063956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55966222-0.55962160) × R
    4.06199999999357e-05 × 6371000     		dl = 258.79001999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55966222-0.55962160) × R
    4.06199999999357e-05 × 6371000     		dr = 258.79001999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42865176-0.42869969) × cos(0.55966222) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.847434486750013 × 6371000     		do = 258.774315166151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42865176-0.42869969) × cos(0.55962160) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.847456051208141 × 6371000     		du = 258.78090013286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55966222)-sin(0.55962160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847434486750013-0.847456051208141)×R²
    abs(0.42869969-0.42865176)×2.15644581276209e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.15644581276209e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.15644581276209e-05×40589641000000     		ar = 66969.0622683909m²