Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74477 / 77564
↖ ↑ ↗
← S 31.344254°
E 24.557190°		 ← 260.85 m → S 31.344254°
E 24.559937°		 →
↑
260.83 m
↓
↑
260.83 m
↓
S 31.346600°
E 24.557190°		 ← 260.84 m →
68 037 m²		 S 31.346600°
E 24.559937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568218231201172 y=0.591770172119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568218231201172 × 217)
    floor (0.568218231201172 × 131072)
    floor (74477.5)     		tx = 74477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591770172119141 × 217)
    floor (0.591770172119141 × 131072)
    floor (77564.5)     		ty = 77564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74477 / 77564 ti = "17/74477/77564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74477/77564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74477 ÷ 217
    74477 ÷ 131072     		x = 0.568214416503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77564 ÷ 217
    77564 ÷ 131072     		y = 0.591766357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568214416503906 × 2 - 1) × π
    0.136428833007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.42860382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591766357421875 × 2 - 1) × π
    -0.18353271484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.576585028630035
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42860382} λ = 0.42860382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.576585028630035))-π/2
    2×atan(0.561813671952482)-π/2
    2×0.51186794248733-π/2
    1.02373588497466-1.57079632675     		φ = -0.54706044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42860382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.557190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54706044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.344254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74477 KachelY 77564 0.42860382 -0.54706044 24.557190 -31.344254
    Oben rechts KachelX + 1 74478 KachelY 77564 0.42865176 -0.54706044 24.559937 -31.344254
    Unten links KachelX 74477 KachelY + 1 77565 0.42860382 -0.54710138 24.557190 -31.346600
    Unten rechts KachelX + 1 74478 KachelY + 1 77565 0.42865176 -0.54710138 24.559937 -31.346600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54706044--0.54710138) × R
    4.09399999999893e-05 × 6371000     		dl = 260.828739999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54706044--0.54710138) × R
    4.09399999999893e-05 × 6371000     		dr = 260.828739999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42860382-0.42865176) × cos(-0.54706044) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.854057306982321 × 6371000     		do = 260.851084987312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42860382-0.42865176) × cos(-0.54710138) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.854036010141309 × 6371000     		du = 260.844580383886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54706044)-sin(-0.54710138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854057306982321-0.854036010141309)×R²
    abs(0.42865176-0.42860382)×2.12968410127079e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.12968410127079e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.12968410127079e-05×40589641000000     		ar = 68036.6115405342m²