Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74477 / 56373
↖ ↑ ↗
← N 24.394632°
E 24.557190°		 ← 278.16 m → N 24.394632°
E 24.559937°		 →
↑
278.16 m
↓
↑
278.16 m
↓
N 24.392130°
E 24.557190°		 ← 278.16 m →
77 373 m²		 N 24.392130°
E 24.559937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568218231201172 y=0.430095672607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568218231201172 × 217)
    floor (0.568218231201172 × 131072)
    floor (74477.5)     		tx = 74477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430095672607422 × 217)
    floor (0.430095672607422 × 131072)
    floor (56373.5)     		ty = 56373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74477 / 56373 ti = "17/74477/56373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74477/56373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74477 ÷ 217
    74477 ÷ 131072     		x = 0.568214416503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56373 ÷ 217
    56373 ÷ 131072     		y = 0.430091857910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568214416503906 × 2 - 1) × π
    0.136428833007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.42860382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430091857910156 × 2 - 1) × π
    0.139816284179688 × 3.1415926535     		Φ = 0.439245811218575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42860382} λ = 0.42860382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.439245811218575))-π/2
    2×atan(1.55153662562579)-π/2
    2×0.998281484604833-π/2
    1.99656296920967-1.57079632675     		φ = 0.42576664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42860382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.557190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42576664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.394632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74477 KachelY 56373 0.42860382 0.42576664 24.557190 24.394632
    Oben rechts KachelX + 1 74478 KachelY 56373 0.42865176 0.42576664 24.559937 24.394632
    Unten links KachelX 74477 KachelY + 1 56374 0.42860382 0.42572298 24.557190 24.392130
    Unten rechts KachelX + 1 74478 KachelY + 1 56374 0.42865176 0.42572298 24.559937 24.392130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42576664-0.42572298) × R
    4.36600000000009e-05 × 6371000     		dl = 278.157860000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42576664-0.42572298) × R
    4.36600000000009e-05 × 6371000     		dr = 278.157860000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42860382-0.42865176) × cos(0.42576664) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.91072236365536 × 6371000     		do = 278.158051853805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42860382-0.42865176) × cos(0.42572298) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.910740395201219 × 6371000     		du = 278.163559152042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42576664)-sin(0.42572298))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91072236365536-0.910740395201219)×R²
    abs(0.42865176-0.42860382)×1.80315458596647e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80315458596647e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80315458596647e-05×40589641000000     		ar = 77372.6144068288m²