Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74477 / 54024
↖ ↑ ↗
← N 30.126124°
E 24.557190°		 ← 264.17 m → N 30.126124°
E 24.559937°		 →
↑
264.14 m
↓
↑
264.14 m
↓
N 30.123749°
E 24.557190°		 ← 264.18 m →
69 779 m²		 N 30.123749°
E 24.559937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568218231201172 y=0.412174224853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568218231201172 × 217)
    floor (0.568218231201172 × 131072)
    floor (74477.5)     		tx = 74477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412174224853516 × 217)
    floor (0.412174224853516 × 131072)
    floor (54024.5)     		ty = 54024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74477 / 54024 ti = "17/74477/54024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74477/54024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74477 ÷ 217
    74477 ÷ 131072     		x = 0.568214416503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54024 ÷ 217
    54024 ÷ 131072     		y = 0.41217041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568214416503906 × 2 - 1) × π
    0.136428833007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.42860382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41217041015625 × 2 - 1) × π
    0.1756591796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.551849588426086
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42860382} λ = 0.42860382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.551849588426086))-π/2
    2×atan(1.73646178912705)-π/2
    2×1.04829819390113-π/2
    2.09659638780226-1.57079632675     		φ = 0.52580006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42860382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.557190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52580006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.126124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74477 KachelY 54024 0.42860382 0.52580006 24.557190 30.126124
    Oben rechts KachelX + 1 74478 KachelY 54024 0.42865176 0.52580006 24.559937 30.126124
    Unten links KachelX 74477 KachelY + 1 54025 0.42860382 0.52575860 24.557190 30.123749
    Unten rechts KachelX + 1 74478 KachelY + 1 54025 0.42865176 0.52575860 24.559937 30.123749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52580006-0.52575860) × R
    4.14600000000487e-05 × 6371000     		dl = 264.14166000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52580006-0.52575860) × R
    4.14600000000487e-05 × 6371000     		dr = 264.14166000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42860382-0.42865176) × cos(0.52580006) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.864922664244018 × 6371000     		do = 264.169644769328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42860382-0.42865176) × cos(0.52575860) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.864943472488378 × 6371000     		du = 264.176000142759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52580006)-sin(0.52575860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864922664244018-0.864943472488378)×R²
    abs(0.42865176-0.42860382)×2.08082443596824e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.08082443596824e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.08082443596824e-05×40589641000000     		ar = 69779.047860538m²