Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74474 / 77562
↖ ↑ ↗
← S 31.339563°
E 24.548950°		 ← 260.86 m → S 31.339563°
E 24.551697°		 →
↑
260.83 m
↓
↑
260.83 m
↓
S 31.341909°
E 24.548950°		 ← 260.86 m →
68 040 m²		 S 31.341909°
E 24.551697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568195343017578 y=0.591754913330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568195343017578 × 217)
    floor (0.568195343017578 × 131072)
    floor (74474.5)     		tx = 74474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591754913330078 × 217)
    floor (0.591754913330078 × 131072)
    floor (77562.5)     		ty = 77562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74474 / 77562 ti = "17/74474/77562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74474/77562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74474 ÷ 217
    74474 ÷ 131072     		x = 0.568191528320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77562 ÷ 217
    77562 ÷ 131072     		y = 0.591751098632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568191528320312 × 2 - 1) × π
    0.136383056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42846001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591751098632812 × 2 - 1) × π
    -0.183502197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.576489154830795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42846001} λ = 0.42846001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.576489154830795))-π/2
    2×atan(0.561867537745795)-π/2
    2×0.511908884367543-π/2
    1.02381776873509-1.57079632675     		φ = -0.54697856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42846001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.548950°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54697856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.339563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74474 KachelY 77562 0.42846001 -0.54697856 24.548950 -31.339563
    Oben rechts KachelX + 1 74475 KachelY 77562 0.42850795 -0.54697856 24.551697 -31.339563
    Unten links KachelX 74474 KachelY + 1 77563 0.42846001 -0.54701950 24.548950 -31.341909
    Unten rechts KachelX + 1 74475 KachelY + 1 77563 0.42850795 -0.54701950 24.551697 -31.341909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54697856--0.54701950) × R
    4.09399999999893e-05 × 6371000     		dl = 260.828739999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54697856--0.54701950) × R
    4.09399999999893e-05 × 6371000     		dr = 260.828739999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42846001-0.42850795) × cos(-0.54697856) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.854099896369897 × 6371000     		do = 260.86409288283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42846001-0.42850795) × cos(-0.54701950) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.854078602391863 × 6371000     		du = 260.857589153831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54697856)-sin(-0.54701950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854099896369897-0.854078602391863)×R²
    abs(0.42850795-0.42846001)×2.1293978034187e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.1293978034187e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.1293978034187e-05×40589641000000     		ar = 68040.0044875046m²