Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74472 / 77558
↖ ↑ ↗
← S 31.330179°
E 24.543457°		 ← 260.84 m → S 31.330179°
E 24.546204°		 →
↑
260.83 m
↓
↑
260.83 m
↓
S 31.332525°
E 24.543457°		 ← 260.83 m →
68 033 m²		 S 31.332525°
E 24.546204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568180084228516 y=0.591724395751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568180084228516 × 217)
    floor (0.568180084228516 × 131072)
    floor (74472.5)     		tx = 74472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591724395751953 × 217)
    floor (0.591724395751953 × 131072)
    floor (77558.5)     		ty = 77558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74472 / 77558 ti = "17/74472/77558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74472/77558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74472 ÷ 217
    74472 ÷ 131072     		x = 0.56817626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77558 ÷ 217
    77558 ÷ 131072     		y = 0.591720581054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56817626953125 × 2 - 1) × π
    0.1363525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42836414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591720581054688 × 2 - 1) × π
    -0.183441162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.576297407232315
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42836414} λ = 0.42836414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.576297407232315))-π/2
    2×atan(0.561975284826613)-π/2
    2×0.511990774252626-π/2
    1.02398154850525-1.57079632675     		φ = -0.54681478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42836414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.543457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54681478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.330179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74472 KachelY 77558 0.42836414 -0.54681478 24.543457 -31.330179
    Oben rechts KachelX + 1 74473 KachelY 77558 0.42841207 -0.54681478 24.546204 -31.330179
    Unten links KachelX 74472 KachelY + 1 77559 0.42836414 -0.54685572 24.543457 -31.332525
    Unten rechts KachelX + 1 74473 KachelY + 1 77559 0.42841207 -0.54685572 24.546204 -31.332525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54681478--0.54685572) × R
    4.09400000001003e-05 × 6371000     		dl = 260.828740000639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54681478--0.54685572) × R
    4.09400000001003e-05 × 6371000     		dr = 260.828740000639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42836414-0.42841207) × cos(-0.54681478) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.854185068365631 × 6371000     		do = 260.835686471675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42836414-0.42841207) × cos(-0.54685572) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.854163780114681 × 6371000     		du = 260.82918584815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54681478)-sin(-0.54685572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854185068365631-0.854163780114681)×R²
    abs(0.42841207-0.42836414)×2.12882509493806e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.12882509493806e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.12882509493806e-05×40589641000000     		ar = 68032.595684315m²