Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74471 / 77559
↖ ↑ ↗
← S 31.332525°
E 24.540711°		 ← 260.88 m → S 31.332525°
E 24.543457°		 →
↑
260.89 m
↓
↑
260.89 m
↓
S 31.334871°
E 24.540711°		 ← 260.88 m →
68 062 m²		 S 31.334871°
E 24.543457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568172454833984 y=0.591732025146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568172454833984 × 217)
    floor (0.568172454833984 × 131072)
    floor (74471.5)     		tx = 74471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591732025146484 × 217)
    floor (0.591732025146484 × 131072)
    floor (77559.5)     		ty = 77559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74471 / 77559 ti = "17/74471/77559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74471/77559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74471 ÷ 217
    74471 ÷ 131072     		x = 0.568168640136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77559 ÷ 217
    77559 ÷ 131072     		y = 0.591728210449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568168640136719 × 2 - 1) × π
    0.136337280273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.42831620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591728210449219 × 2 - 1) × π
    -0.183456420898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.576345344131935
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42831620} λ = 0.42831620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.576345344131935))-π/2
    2×atan(0.56194834611948)-π/2
    2×0.511970301015826-π/2
    1.02394060203165-1.57079632675     		φ = -0.54685572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42831620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.540711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54685572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.332525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74471 KachelY 77559 0.42831620 -0.54685572 24.540711 -31.332525
    Oben rechts KachelX + 1 74472 KachelY 77559 0.42836414 -0.54685572 24.543457 -31.332525
    Unten links KachelX 74471 KachelY + 1 77560 0.42831620 -0.54689667 24.540711 -31.334871
    Unten rechts KachelX + 1 74472 KachelY + 1 77560 0.42836414 -0.54689667 24.543457 -31.334871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54685572--0.54689667) × R
    4.09499999999285e-05 × 6371000     		dl = 260.892449999545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54685572--0.54689667) × R
    4.09499999999285e-05 × 6371000     		dr = 260.892449999545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42831620-0.42836414) × cos(-0.54685572) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.854163780114681 × 6371000     		do = 260.883604622855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42831620-0.42836414) × cos(-0.54689667) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.854142485231692 × 6371000     		du = 260.877100617459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54685572)-sin(-0.54689667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854163780114681-0.854142485231692)×R²
    abs(0.42836414-0.42831620)×2.12948829897419e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.12948829897419e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.12948829897419e-05×40589641000000     		ar = 68061.7143614443m²