Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74471 / 77557
↖ ↑ ↗
← S 31.327833°
E 24.540711°		 ← 260.90 m → S 31.327833°
E 24.543457°		 →
↑
260.89 m
↓
↑
260.89 m
↓
S 31.330179°
E 24.540711°		 ← 260.89 m →
68 065 m²		 S 31.330179°
E 24.543457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568172454833984 y=0.591716766357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568172454833984 × 217)
    floor (0.568172454833984 × 131072)
    floor (74471.5)     		tx = 74471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591716766357422 × 217)
    floor (0.591716766357422 × 131072)
    floor (77557.5)     		ty = 77557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74471 / 77557 ti = "17/74471/77557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74471/77557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74471 ÷ 217
    74471 ÷ 131072     		x = 0.568168640136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77557 ÷ 217
    77557 ÷ 131072     		y = 0.591712951660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568168640136719 × 2 - 1) × π
    0.136337280273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.42831620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591712951660156 × 2 - 1) × π
    -0.183425903320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.576249470332695
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42831620} λ = 0.42831620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.576249470332695))-π/2
    2×atan(0.562002224825136)-π/2
    2×0.512011247999741-π/2
    1.02402249599948-1.57079632675     		φ = -0.54677383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42831620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.540711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54677383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.327833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74471 KachelY 77557 0.42831620 -0.54677383 24.540711 -31.327833
    Oben rechts KachelX + 1 74472 KachelY 77557 0.42836414 -0.54677383 24.543457 -31.327833
    Unten links KachelX 74471 KachelY + 1 77558 0.42831620 -0.54681478 24.540711 -31.330179
    Unten rechts KachelX + 1 74472 KachelY + 1 77558 0.42836414 -0.54681478 24.543457 -31.330179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54677383--0.54681478) × R
    4.09499999999285e-05 × 6371000     		dl = 260.892449999545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54677383--0.54681478) × R
    4.09499999999285e-05 × 6371000     		dr = 260.892449999545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42831620-0.42836414) × cos(-0.54677383) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.854206360384236 × 6371000     		do = 260.896609733193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42831620-0.42836414) × cos(-0.54681478) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.854185068365631 × 6371000     		du = 260.890106602654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54677383)-sin(-0.54681478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854206360384236-0.854185068365631)×R²
    abs(0.42836414-0.42831620)×2.12920186050125e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.12920186050125e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.12920186050125e-05×40589641000000     		ar = 68065.1074105203m²