Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74470 / 53406
↖ ↑ ↗
← N 31.583215°
E 24.537964°		 ← 260.19 m → N 31.583215°
E 24.540711°		 →
↑
260.19 m
↓
↑
260.19 m
↓
N 31.580875°
E 24.537964°		 ← 260.19 m →
67 699 m²		 N 31.580875°
E 24.540711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568164825439453 y=0.407459259033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568164825439453 × 217)
    floor (0.568164825439453 × 131072)
    floor (74470.5)     		tx = 74470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407459259033203 × 217)
    floor (0.407459259033203 × 131072)
    floor (53406.5)     		ty = 53406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74470 / 53406 ti = "17/74470/53406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74470/53406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74470 ÷ 217
    74470 ÷ 131072     		x = 0.568161010742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53406 ÷ 217
    53406 ÷ 131072     		y = 0.407455444335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568161010742188 × 2 - 1) × π
    0.136322021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42826826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407455444335938 × 2 - 1) × π
    0.185089111328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.581474592391281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42826826} λ = 0.42826826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.581474592391281))-π/2
    2×atan(1.78867405218667)-π/2
    2×1.06101370899566-π/2
    2.12202741799132-1.57079632675     		φ = 0.55123109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42826826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.537964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55123109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.583215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74470 KachelY 53406 0.42826826 0.55123109 24.537964 31.583215
    Oben rechts KachelX + 1 74471 KachelY 53406 0.42831620 0.55123109 24.540711 31.583215
    Unten links KachelX 74470 KachelY + 1 53407 0.42826826 0.55119025 24.537964 31.580875
    Unten rechts KachelX + 1 74471 KachelY + 1 53407 0.42831620 0.55119025 24.540711 31.580875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55123109-0.55119025) × R
    4.0840000000042e-05 × 6371000     		dl = 260.191640000267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55123109-0.55119025) × R
    4.0840000000042e-05 × 6371000     		dr = 260.191640000267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42826826-0.42831620) × cos(0.55123109) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.851880401165802 × 6371000     		do = 260.186201917391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42826826-0.42831620) × cos(0.55119025) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.851901789848596 × 6371000     		du = 260.192734571661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55123109)-sin(0.55119025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851880401165802-0.851901789848596)×R²
    abs(0.42831620-0.42826826)×2.13886827939991e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.13886827939991e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.13886827939991e-05×40589641000000     		ar = 67699.1244627771m²