Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74470 / 53223
↖ ↑ ↗
← N 32.010405°
E 24.537964°		 ← 258.99 m → N 32.010405°
E 24.540711°		 →
↑
258.98 m
↓
↑
258.98 m
↓
N 32.008076°
E 24.537964°		 ← 258.99 m →
67 073 m²		 N 32.008076°
E 24.540711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568164825439453 y=0.406063079833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568164825439453 × 217)
    floor (0.568164825439453 × 131072)
    floor (74470.5)     		tx = 74470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406063079833984 × 217)
    floor (0.406063079833984 × 131072)
    floor (53223.5)     		ty = 53223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74470 / 53223 ti = "17/74470/53223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74470/53223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74470 ÷ 217
    74470 ÷ 131072     		x = 0.568161010742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53223 ÷ 217
    53223 ÷ 131072     		y = 0.406059265136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568161010742188 × 2 - 1) × π
    0.136322021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42826826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406059265136719 × 2 - 1) × π
    0.187881469726562 × 3.1415926535     		Φ = 0.590247045021751
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42826826} λ = 0.42826826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.590247045021751))-π/2
    2×atan(1.80443413680954)-π/2
    2×1.06474164409887-π/2
    2.12948328819773-1.57079632675     		φ = 0.55868696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42826826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.537964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55868696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.010405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74470 KachelY 53223 0.42826826 0.55868696 24.537964 32.010405
    Oben rechts KachelX + 1 74471 KachelY 53223 0.42831620 0.55868696 24.540711 32.010405
    Unten links KachelX 74470 KachelY + 1 53224 0.42826826 0.55864631 24.537964 32.008076
    Unten rechts KachelX + 1 74471 KachelY + 1 53224 0.42831620 0.55864631 24.540711 32.008076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55868696-0.55864631) × R
    4.06499999999754e-05 × 6371000     		dl = 258.981149999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55868696-0.55864631) × R
    4.06499999999754e-05 × 6371000     		dr = 258.981149999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42826826-0.42831620) × cos(0.55868696) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.847951849173153 × 6371000     		do = 258.986321017909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42826826-0.42831620) × cos(0.55864631) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.847973395950598 × 6371000     		du = 258.992901958355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55868696)-sin(0.55864631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847951849173153-0.847973395950598)×R²
    abs(0.42831620-0.42826826)×2.15467774454803e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.15467774454803e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.15467774454803e-05×40589641000000     		ar = 67073.4274305836m²