Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7447 / 4822
↖ ↑ ↗
← N 59.288332°
W 16.369629°		 ← 1 247.79 m → N 59.288332°
W 16.347656°		 →
↑
1 248.02 m
↓
↑
1 248.02 m
↓
N 59.277108°
W 16.369629°		 ← 1 248.21 m →
1 557 522 m²		 N 59.277108°
W 16.347656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454559326171875 y=0.294342041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454559326171875 × 214)
    floor (0.454559326171875 × 16384)
    floor (7447.5)     		tx = 7447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294342041015625 × 214)
    floor (0.294342041015625 × 16384)
    floor (4822.5)     		ty = 4822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7447 / 4822 ti = "14/7447/4822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7447/4822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7447 ÷ 214
    7447 ÷ 16384     		x = 0.45452880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4822 ÷ 214
    4822 ÷ 16384     		y = 0.2943115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45452880859375 × 2 - 1) × π
    -0.0909423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28570392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2943115234375 × 2 - 1) × π
    0.411376953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.29237881375671
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28570392} λ = -0.28570392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29237881375671))-π/2
    2×atan(3.64143856506626)-π/2
    2×1.30278646140826-π/2
    2.60557292281652-1.57079632675     		φ = 1.03477660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28570392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.369629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03477660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.288332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7447 KachelY 4822 -0.28570392 1.03477660 -16.369629 59.288332
    Oben rechts KachelX + 1 7448 KachelY 4822 -0.28532043 1.03477660 -16.347656 59.288332
    Unten links KachelX 7447 KachelY + 1 4823 -0.28570392 1.03458071 -16.369629 59.277108
    Unten rechts KachelX + 1 7448 KachelY + 1 4823 -0.28532043 1.03458071 -16.347656 59.277108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03477660-1.03458071) × R
    0.000195890000000087 × 6371000     		dl = 1248.01519000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03477660-1.03458071) × R
    0.000195890000000087 × 6371000     		dr = 1248.01519000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28570392--0.28532043) × cos(1.03477660) × R
    0.000383489999999986 × 0.510718013171517 × 6371000     		do = 1247.79380330002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28570392--0.28532043) × cos(1.03458071) × R
    0.000383489999999986 × 0.510886419462836 × 6371000     		du = 1248.2052560417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03477660)-sin(1.03458071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.510718013171517-0.510886419462836)×R²
    abs(-0.28532043--0.28570392)×0.000168406291318868×R²
    0.000383489999999986×0.000168406291318868×6371000²
    0.000383489999999986×0.000168406291318868×40589641000000     		ar = 1557522.37512214m²