Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74468 / 77588
↖ ↑ ↗
← S 31.400535°
E 24.532471°		 ← 260.64 m → S 31.400535°
E 24.535217°		 →
↑
260.64 m
↓
↑
260.64 m
↓
S 31.402879°
E 24.532471°		 ← 260.63 m →
67 932 m²		 S 31.402879°
E 24.535217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568149566650391 y=0.591953277587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568149566650391 × 217)
    floor (0.568149566650391 × 131072)
    floor (74468.5)     		tx = 74468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591953277587891 × 217)
    floor (0.591953277587891 × 131072)
    floor (77588.5)     		ty = 77588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74468 / 77588 ti = "17/74468/77588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74468/77588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74468 ÷ 217
    74468 ÷ 131072     		x = 0.568145751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77588 ÷ 217
    77588 ÷ 131072     		y = 0.591949462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568145751953125 × 2 - 1) × π
    0.13629150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42817239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591949462890625 × 2 - 1) × π
    -0.18389892578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.577735514220917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42817239} λ = 0.42817239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.577735514220917))-π/2
    2×atan(0.561167685088683)-π/2
    2×0.511376799233211-π/2
    1.02275359846642-1.57079632675     		φ = -0.54804273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42817239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.532471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54804273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.400535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74468 KachelY 77588 0.42817239 -0.54804273 24.532471 -31.400535
    Oben rechts KachelX + 1 74469 KachelY 77588 0.42822032 -0.54804273 24.535217 -31.400535
    Unten links KachelX 74468 KachelY + 1 77589 0.42817239 -0.54808364 24.532471 -31.402879
    Unten rechts KachelX + 1 74469 KachelY + 1 77589 0.42822032 -0.54808364 24.535217 -31.402879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54804273--0.54808364) × R
    4.09099999999496e-05 × 6371000     		dl = 260.637609999679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54804273--0.54808364) × R
    4.09099999999496e-05 × 6371000     		dr = 260.637609999679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42817239-0.42822032) × cos(-0.54804273) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.853545928468811 × 6371000     		do = 260.640517415328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42817239-0.42822032) × cos(-0.54808364) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.853524612924208 × 6371000     		du = 260.634008457358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54804273)-sin(-0.54808364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853545928468811-0.853524612924208)×R²
    abs(0.42822032-0.42817239)×2.13155446023849e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.13155446023849e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.13155446023849e-05×40589641000000     		ar = 67931.8732980111m²