Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74468 / 77540
↖ ↑ ↗
← S 31.287940°
E 24.532471°		 ← 260.95 m → S 31.287940°
E 24.535217°		 →
↑
260.96 m
↓
↑
260.96 m
↓
S 31.290287°
E 24.532471°		 ← 260.95 m →
68 096 m²		 S 31.290287°
E 24.535217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568149566650391 y=0.591587066650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568149566650391 × 217)
    floor (0.568149566650391 × 131072)
    floor (74468.5)     		tx = 74468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591587066650391 × 217)
    floor (0.591587066650391 × 131072)
    floor (77540.5)     		ty = 77540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74468 / 77540 ti = "17/74468/77540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74468/77540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74468 ÷ 217
    74468 ÷ 131072     		x = 0.568145751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77540 ÷ 217
    77540 ÷ 131072     		y = 0.591583251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568145751953125 × 2 - 1) × π
    0.13629150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42817239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591583251953125 × 2 - 1) × π
    -0.18316650390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.575434543039154
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42817239} λ = 0.42817239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.575434543039154))-π/2
    2×atan(0.562460402442543)-π/2
    2×0.512359379758136-π/2
    1.02471875951627-1.57079632675     		φ = -0.54607757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42817239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.532471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54607757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.287940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74468 KachelY 77540 0.42817239 -0.54607757 24.532471 -31.287940
    Oben rechts KachelX + 1 74469 KachelY 77540 0.42822032 -0.54607757 24.535217 -31.287940
    Unten links KachelX 74468 KachelY + 1 77541 0.42817239 -0.54611853 24.532471 -31.290287
    Unten rechts KachelX + 1 74469 KachelY + 1 77541 0.42822032 -0.54611853 24.535217 -31.290287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54607757--0.54611853) × R
    4.09599999999788e-05 × 6371000     		dl = 260.956159999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54607757--0.54611853) × R
    4.09599999999788e-05 × 6371000     		dr = 260.956159999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42817239-0.42822032) × cos(-0.54607757) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.854568162638339 × 6371000     		do = 260.952668916471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42817239-0.42822032) × cos(-0.54611853) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.854546889785848 × 6371000     		du = 260.94617299505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54607757)-sin(-0.54611853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854568162638339-0.854546889785848)×R²
    abs(0.42822032-0.42817239)×2.12728524910943e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.12728524910943e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.12728524910943e-05×40589641000000     		ar = 68096.3588561401m²